[loj3693]蚂蚁与方糖

对于二分图$G=(V_{l}\cup V_{r},E)$，记$N(S)=\{y\mid \exists x\in S,(x,y)\in E\}$

结论：$G$的最大匹配$=\min_{S\subseteq V_{l}}(|V_{l}|-|S|+|N(S)|)$

将$V_{l}-S$和$N(S)$中的点全部删除，显然剩下的$S$和$V_{r}-N(S)$中不存在边

删除的点至多产生$|V_{l}|-|S|+|N(S)|$组匹配，因此最大匹配$\le |V_{l}|-|S|+|N(S)|$

另一方面，考虑取到最小值的$S$，证明可以达到该上界——

若删除的点内部匹配显然无法达到上界，因此仅能在另一边的补集内匹配

换言之，达到上界等价于$N(S)$在$S$内、$V_{l}-S$在$V_{r}-N(S)$内存在完美匹配

结合hall定理，并使用反证法，具体如下：

假设存在$T\subseteq N(S)$使得$|N(T)\cap S|<|T|$，取$S'=S-N(T)$，注意到$N(S')\cap T=\empty$，则
$$
|N(S')|-|S'|\le (|N(S)|-|T|)-(|S|-|N(T)\cap S|)<|N(S)|-|S|
$$
假设存在$T\subseteq V_{l}-S$使得$|N(T)\cap V_{r}-N(S)|<|T|$，取$S'=S\cup T$​，则
$$
|N(S')|-|S'|=(|N(S)|+|N(T)\cap V_{r}-N(S)|)-(|S|+|T|)<|N(S)|-|S|
$$
两种情况均与$S$取到最小值矛盾，即得证

回到原问题，即求将相距$\le L$的蚂蚁和方糖连边后的最大匹配（对每个蚂蚁/方糖建点）

根据上述结论，考虑取到最小值的$S$，并分析其性质——

性质1：同一个位置上的蚂蚁总是全选/全不选

部分选与全选时$N(S)$不变且$S$变小，显然不优

将蚂蚁的位置（从左到右）依次编号为$1,2,...,m$，记$x_{i}$为坐标$,s_{i}$为蚂蚁数

根据性质1，$S$可以用$[1,m]$的子集描述，且对应的值即$\sum_{i=1}^{m}s_{i}-\sum_{i\in S}s_{i}+|\bigcup_{i\in S}N(i)|$

性质2：记$nex_{i}(S)$为$S$中$i$的后继，则$|\bigcup_{i\in S}N(i)|=\sum_{i\in S}|N(i)|-|N(i)\cap N(nex_{S}(i))|$

引理：$\forall x\in V_{r}$，满足$x\in N(i)$的$i$构成连续区间（或为空）

结合引理，每一个$x\in \bigcup_{i\in S}N(i)$恰会在该区间与$S$交的最后一项中贡献，即得证

性质3：若$l,r\in S$且$x_{r}-x_{l}\le 2L$，则$\forall i\in [l,r],i\in S$

引理：若$x_{r}-x_{l}\le 2L$，则$\forall i\in [l,r],N(i)\subseteq N(l)\cup N(r)$

结合引理，$\forall i\in [l,r],P_{i}=0$与$P_{i}=1$时$N(S)$不变且$S$变小，显然不优

结合性质2和性质3，即$N(i)\cap N(nex_{S}(i))\ne \empty$（可推出$x_{nex_{S}(i)}-x_{i}\le 2L$）时$i+1\in S$，进而$nex_{S}(i)=i+1$

综上，问题即求
$$
\sum_{i=1}^{m}s_{i}+\min_{S\subseteq [1,m]}\left(\sum_{i\in S}(|N(i)|-s_{i})-\sum_{i,i+1\in S}|N(i)\cap N(i+1)|\right)
$$
线段树维护$|N(mid)\cap N(mid+1)|$和区间内左右端点是否选择时的答案，即可实现push-up

加入蚂蚁即单点修改，加入方糖即区间修改，并分析修改的形式：

假设$[x_{l},x_{r}]\subseteq [x-L,x+L]$且最长，则修改即$\begin{cases}\forall i\in [l,r],|N(i)|+x\\\forall i\in [l,r),|N(i)\cap N(i+1)|+x\end{cases}$

进一步的，对于一种选法的影响即$+kx$（其中$k$为选择的极长区间数）

注意到$x_{r}-x_{l}\le 2L$，结合性质3即$k\in \{0,1\}$，并特判不选（即$k=0$）的情况即可

时间复杂度为$o(n\log n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500005
#define ll long long
#define L (k<<1)
#define R (L+1)
#define mid (l+r>>1)
int n,m,l,p[N],x[N],y[N],v[N];
ll sum,tag[N<<2],val[N<<2];
struct Data{
    ll a[4];
    ll get(){
        return min(min(a[0],a[1]),min(a[2],a[3]));
    }
}f[N<<2];
void upd(int k,ll x){
    tag[k]+=x,val[k]+=x;
    for(int i=0;i<4;i++)f[k].a[i]+=x;
    f[k].a[0]=min(f[k].a[0],0LL);
}
void up(int k){
    for(int i=0;i<4;i++)f[k].a[i]=1e18;
    for(int i=0;i<4;i++)
        for(int j=0;j<4;j++){
            int s=(i&2|j&1),p=(i&(j>>1)&1);
            f[k].a[s]=min(f[k].a[s],f[L].a[i]+f[R].a[j]-p*val[k]);
        }
}
void down(int k){
    if (tag[k])upd(L,tag[k]),upd(R,tag[k]),tag[k]=0;
}
void build(int k,int l,int r){
    if (l==r){
        f[k].a[1]=f[k].a[2]=1e18;
        return;
    } 
    build(L,l,mid),build(R,mid+1,r);
    up(k);
}
void update(int k,int l,int r,int x,int y){
    if (l==r){
        f[k].a[3]+=y;
        return;
    }
    down(k);
    if (x<=mid)update(L,l,mid,x,y);
    else update(R,mid+1,r,x,y);
    up(k);
}
void update(int k,int l,int r,int x,int y,int z){
    if ((l>y)||(x>r))return;
    if ((x<=l)&&(r<=y)){
        upd(k,z);
        return;
    }
    down(k);
    update(L,l,mid,x,y,z),update(R,mid+1,r,x,y,z);
    if ((x<=mid)&&(mid<y))val[k]+=z;
    up(k);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&l);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d%d%d",&p[i],&x[i],&y[i]);
        if (p[i]==1)v[++m]=x[i];
    }
    if (!m){
        for(int i=1;i<=n;i++)printf("0\n");
        return 0;
    }
    sort(v+1,v+m+1),build(1,1,m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if (p[i]==1){
            int pos=lower_bound(v+1,v+m+1,x[i])-v;
            sum+=y[i],update(1,1,m,pos,-y[i]);
        }
        if (p[i]==2){
            int posl=lower_bound(v+1,v+m+1,x[i]-l)-v;
            int posr=upper_bound(v+1,v+m+1,x[i]+l)-v-1;
            update(1,1,m,posl,posr,y[i]);
        }
        printf("%lld\n",sum+f[1].get());
    }
    return 0;
}