[atARC137F]Overlaps

考虑将$2n$个位置离散（可以忽略同位置），问题即转换为以下模型

将$2n$个位置（等概率）配成$n$对，每一对左右分别打上$\pm 1$，任意前缀和$\le K$的概率

总方案数显然为${2n\choose n}\frac{n!}{2^{n}}$，下面考虑合法的方案数——

记$x_{i}$为第$i$个$-1$之前的前缀和（不包括该$-1$），那么答案即
$$
\sum_{\begin{matrix}\forall 1\le i\le n,1\le x_{i}\le K\\\forall 1\le i<n,x_{i}-1\le x_{i+1}\\x_{n}=1\end{matrix}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}
$$
（前者的条件可以构造出$\pm 1$序列，后者即从左到右确定每一个$-1$所配对的$1$）

对第2个条件容斥，即要求相邻两个元素至少减小2，并定义以下信息——
$$
g_{n}=\sum_{\begin{matrix}\forall 1\le i\le n,1\le x_{i}\le K\\\forall 1\le i<n,x_{i+1}\le x_{i}+2\\x_{n}=1\end{matrix}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\ ,\
f_{n}=\sum_{\begin{matrix}\forall 1\le i\le n,1\le x_{i}\le K\\\forall 1\le i<n,x_{i+1}\le x_{i}+2\end{matrix}}\prod_{i=1}^{n}x_{i}\ ,\
F_{n}=\begin{cases}1&n=0\\\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-i-1}f_{n-i}F_{i}&n\ge 1\end{cases}
$$
关于$g$和$f$，可以对值域分治并记录$l$和$r$是否选择对应的4个序列，使用NTT合并，时间复杂度为$o(n\log^{2}n)$

记$\begin{cases}f(x)=\sum_{n\ge 1}(-1)^{n-1}f_{n}x^{n}\\F(x)=\sum_{n\ge 0}F_{n}x^{n}\end{cases}$，代入$F_{n}$的转移可得$F(x)=\frac{1}{1-f(x)}$，可以$o(n\log n)$多项式求逆计算

最终，答案即$\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-i-1}g_{n-i}F_{i}$，可以$o(n)$直接计算

总复杂度为$o(n\log^{2}n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 400005
#define L 19
#define mod 998244353
#define ll long long
#define vi vector<int>
int n,K,sum,ans,fac[N],inv[N];
vi a,b;
struct Data{
    int n;
    vi a[4];
}g,f[L];
int C(int n,int m){
    return (ll)fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int qpow(int n,int m){
    int s=n,ans=1;
    while (m){
        if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
        s=(ll)s*s%mod,m>>=1;
    }
    return ans;
}
namespace Poly{
    int n,inv,rev[1<<L],w[2][L][1<<L];
    void Init(){
        for(int i=0;i<L;i++){
            w[0][i][0]=w[1][i][0]=1;
            w[0][i][1]=qpow(3,(mod-1>>i+1));
            w[1][i][1]=qpow(w[0][i][1],mod-2);
            for(int j=2;j<(1<<i);j++){
                w[0][i][j]=(ll)w[0][i][j-1]*w[0][i][1]%mod;
                w[1][i][j]=(ll)w[1][i][j-1]*w[1][i][1]%mod;
            }
        }
    }
    void init(int m){
        n=inv=1;
        while (n<m)n<<=1,inv=(ll)inv*(mod+1>>1)%mod;
        for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(n>>1);
    }
    void ntt(vi &a,int p=0){
        for(int i=0;i<n;i++)
            if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
        for(int i=2,t=0;i<=n;i<<=1,t++)
            for(int j=0;j<n;j+=i)
                for(int k=0;k<(i>>1);k++){
                    int x=a[j+k],y=(ll)w[p][t][k]*a[j+k+(i>>1)]%mod;
                    a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+(i>>1)]=(x-y+mod)%mod;
                }
        if (p){
            for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
        }
    }
    vi get_inv(vi a,int m){
        vi ans;
        if (m==1){
            ans.push_back(qpow(a[0],mod-2));
            return ans;
        }
        vi s=get_inv(a,(m+1>>1));
        init(m<<1),ans=s,a.resize(n),s.resize(n),ans.resize(m);
        for(int i=m;i<n;i++)a[i]=0;
        ntt(a),ntt(s);for(int i=0;i<n;i++)s[i]=(ll)a[i]*s[i]%mod*s[i]%mod;ntt(s,1);
        for(int i=0;i<m;i++)ans[i]=((ans[i]<<1)%mod-s[i]+mod)%mod;
        return ans;
    }
    void calc(int d,int l,int r){
        if (l==r){
            f[d].n=2,f[d].a[0]=vi{1,0},f[d].a[1]=f[d].a[2]=vi{0,0},f[d].a[3]=vi{0,l};
            return;
        }
        int mid=(l+r>>1);
        calc(d+1,l,mid),f[d]=f[d+1],calc(d+1,mid+1,r);
        f[d].n+=f[d+1].n-1,init(f[d].n);
        for(int i=0;i<4;i++){
            f[d].a[i].resize(n),f[d+1].a[i].resize(n);
            ntt(f[d].a[i]),ntt(f[d+1].a[i]);
        }
        g=f[d];
        for(int i=0;i<4;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                f[d].a[i][j]=(ll)g.a[i&2][j]*f[d+1].a[i&1][j]%mod;
                f[d].a[i][j]=(f[d].a[i][j]+(ll)g.a[i&2|1][j]*f[d+1].a[i&1][j])%mod;
                f[d].a[i][j]=(f[d].a[i][j]+(ll)g.a[i&2][j]*f[d+1].a[i&1|2][j])%mod;
            }
        for(int i=0;i<4;i++)ntt(f[d].a[i],1),f[d].a[i].resize(f[d].n);
    }
};
int main(){
    fac[0]=inv[0]=inv[1]=1,Poly::Init();
    for(int i=1;i<N;i++)fac[i]=(ll)fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<N;i++)inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<N;i++)inv[i]=(ll)inv[i-1]*inv[i]%mod;
    scanf("%d%d",&n,&K);
    Poly::calc(0,1,K),a.resize(n+1),b.resize(n+1);
    for(int i=0;i<4;i++)f[0].a[i].resize(n+1);
    for(int i=0;i<=n;i++){
        a[i]=(f[0].a[2][i]+f[0].a[3][i])%mod;
        for(int j=0;j<4;j++)b[i]=(b[i]+f[0].a[j][i])%mod;
        if (i&1)b[i]=mod-b[i];
        else a[i]=mod-a[i];
    }
    b=Poly::get_inv(b,n+1);
    for(int i=0;i<n;i++)ans=(ans+(ll)a[n-i]*b[i])%mod;
    sum=(ll)C((n<<1),n)*fac[n]%mod*qpow(2,mod-n-1)%mod;
    ans=(ll)ans*qpow(sum,mod-2)%mod;
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}