[loj6738]王的象棋世界

记$A=\left(\begin{matrix}1&1&\\1&1&1\\&1&1&1\\&&\ddots&\ddots&\ddots\\&&&1&1&1\\&&&&1&1\\\end{matrix}\right)$，问题即求$ans=A^{R-1}_{x,y}$

考虑其特征多项式，即$f_{C}(t)=|tI-A|$（其中$I$为单位矩阵）

对最后一行所选的元素分类讨论，可得递推式$f_{C}(t)=(t-1)f_{C-1}(t)-f_{C-2}(t)$

代入单位根并通过矩阵乘法（求出点值）+IDFT即可求出$f_{C}(t)$，时间复杂度为$o(C\log C)$

分治+多项式求出$F(t)=t^{R-1}\ mod\ f_{C}(t)$，时间复杂度为$o(C\log R\log C)$

根据特征多项式的性质，可得$ans=F(A)=\sum_{i=0}^{C-1}[t^{i}]F(t)\cdot A^{i}_{x,y}$

由于$i<C$​，两个边界不会同时越界，翻折容斥可得
$$
A^{i}_{x,y}=[t^{x-y}]g_{i}(t)-[t^{x+y}]g_{i}(t)-[t^{x+y-2(C+1)}]g_{i}(t)
$$
（其中$g_{i}(t)=(t+1+\frac{1}{t})^{i}$，即在无边界时走$i$步）

将$g_{i}(t)$累加，同样分治+多项式求出$G(t)=\sum_{i=0}^{C-1}[t^{i}]F(t)\cdot g_{i}(t)$，时间复杂度为$o(C\log^{2}C)$

在此基础上，有$ans=[t^{x-y}]G(t)-[t^{x+y}]G(t)-[t^{x+y-2(C+1)}]G(t)]$，即可$o(1)$询问

总复杂度为$o(C\log R\log C+C\log^{2}C+Q)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define L 18
#define N (1<<L)
#define mod 998244353
#define ll long long
#define vi vector<int>
int n,inv,R,C,Q,x,y,rev[N],w[2][L][N];
vi a,a0,b,c,g[L],f[L];
struct mat{
    int a[2][2];
    mat operator * (const mat &b)const{
        mat ans=mat{0,0,0,0};
        for(int i=0;i<2;i++)
            for(int j=0;j<2;j++)
                for(int k=0;k<2;k++)ans.a[i][k]=(ans.a[i][k]+(ll)a[i][j]*b.a[j][k])%mod;
        return ans;
    }
}A;
int qpow(int n,int m){
    int s=n,ans=1;
    while (m){
        if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
        s=(ll)s*s%mod,m>>=1;
    }
    return ans;
}
mat qpow(mat n,int m){
    mat s=n,ans=mat{1,0,0,1};
    while (m){
        if (m&1)ans=ans*s;
        s=s*s,m>>=1;
    }
    return ans;
}
void init_lg(int m){
    n=inv=1;
    while (n<m)n<<=1,inv=(ll)inv*(mod+1>>1)%mod;
    for(int i=0;i<n;i++)rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+(i&1)*(n>>1);
}
void ntt(vi &a,int p=0){
    for(int i=0;i<n;i++)
        if (i<rev[i])swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int i=2,t=0;i<=n;i<<=1,t++)
        for(int j=0;j<n;j+=i)
            for(int k=0;k<(i>>1);k++){
                int x=a[j+k],y=(ll)w[p][t][k]*a[j+k+(i>>1)]%mod;
                a[j+k]=(x+y)%mod,a[j+k+(i>>1)]=(x-y+mod)%mod;
            }
    if (p){
        for(int i=0;i<n;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
    }
}
vi get_inv(vi a,int m){
    vi ans;
    if (m==1){
        ans.push_back(qpow(a[0],mod-2));
        return ans;
    }
    vi s=get_inv(a,(m+1>>1));
    init_lg(m<<1),ans=s,a.resize(n),s.resize(n),ans.resize(m);
    for(int i=m;i<n;i++)a[i]=0;
    ntt(a),ntt(s);for(int i=0;i<n;i++)s[i]=(ll)a[i]*s[i]%mod*s[i]%mod;ntt(s,1);
    for(int i=0;i<m;i++)ans[i]=((ans[i]<<1)%mod-s[i]+mod)%mod;
    return ans;
}
void calc(int d,int l,int r){
    if (l==r){
        g[d]=vi{1,1,1},f[d]=vi{b[l]};
        return;
    }
    int mid=(l+r>>1);
    calc(d+1,l,mid),g[d]=g[d+1],f[d]=f[d+1],calc(d+1,mid+1,r);
    init_lg((r-l<<1)+3),g[d].resize(n),g[d+1].resize(n),f[d].resize(n),f[d+1].resize(n);
    for(int i=n-1;i>=r-mid;i--)f[d][i]=f[d][i-(r-mid)];
    for(int i=0;i<r-mid;i++)f[d][i]=0;
    ntt(g[d]),ntt(g[d+1]),ntt(f[d]),ntt(f[d+1]);
    for(int i=0;i<n;i++){
        f[d][i]=(f[d][i]+(ll)g[d][i]*f[d+1][i])%mod;
        g[d][i]=(ll)g[d][i]*g[d+1][i]%mod;
    }
    ntt(g[d],1),ntt(f[d],1),g[d].resize((r-l<<1)+3),f[d].resize((r-l<<1)+1);
}
int get(int k){
    if (abs(k)>=C)return 0;
    return f[0][k+C-1];
}
int main(){
    for(int i=0;i<L;i++){
        w[0][i][0]=w[1][i][0]=1;
        w[0][i][1]=qpow(3,(mod-1>>i+1));
        w[1][i][1]=qpow(w[0][i][1],mod-2);
        for(int j=2;j<(1<<i);j++){
            w[0][i][j]=(ll)w[0][i][j-1]*w[0][i][1]%mod;
            w[1][i][j]=(ll)w[1][i][j-1]*w[1][i][1]%mod;
        }
    }
    scanf("%d%d%d",&R,&C,&Q);
    init_lg(C+1),a.resize(n);
    for(int i=0;i<n;i++){
        A=mat{0,mod-1,1,qpow(3,(mod-1)/n*i)-1};
        a[i]=qpow(A,C).a[1][1];
    }
    ntt(a,1),reverse(a.begin(),a.begin()+C+1),a0=get_inv(a,C+1);
    init_lg(C<<1),a.resize(n),a0.resize(n),b.resize(n),ntt(a),ntt(a0),b[0]=1;
    for(int i=29;i>=0;i--){
        ntt(b);for(int j=0;j<n;j++)b[j]=(ll)b[j]*b[j]%mod;ntt(b,1);
        if ((R-1>>i)&1){
            for(int j=(C<<1)-1;j;j--)b[j]=b[j-1];b[0]=0;
        }
        reverse(b.begin(),b.begin()+(C<<1)),c=b;
        for(int j=C;j<n;j++)c[j]=0;
        ntt(c);for(int j=0;j<n;j++)c[j]=(ll)c[j]*a0[j]%mod;ntt(c,1);
        for(int j=C;j<n;j++)c[j]=0;
        ntt(c);for(int j=0;j<n;j++)c[j]=(ll)c[j]*a[j]%mod;ntt(c,1);
        for(int j=0;j<(C<<1);j++)b[j]=(b[j]-c[j]+mod)%mod;
        for(int j=0;j<C;j++)b[j]=b[j+C];
        for(int j=C;j<(C<<1);j++)b[j]=0;
        reverse(b.begin(),b.begin()+C);
    }
    calc(0,0,C-1);
    while (Q--){
        scanf("%d%d",&x,&y);
        printf("%d\n",((get(x-y)-get(x+y)+mod)%mod-get(x+y-(C+1<<1))+mod)%mod);
    }
    return 0;
}