[cf1540C]Converging Array

性质1：对$i$操作后，$a_{i}+a_{i+1}$的值不变

性质2：若初始$a_{i+1}-a_{i}\le b_{i}$，则最终$a_{i+1}-a_{i}=b_{i}$

换言之，不断合并$a_{i+1}-a_{i}\le b_{i}$，对于合并后的每一段，根据总和和差值即可解出

在此基础上，假设$1$所在段$[1,i]$与$(i,j]$合并，合并后$a_{i}$被看作$a_{i+1}-a_{i}=b_{i}$

同时$a_{i}\downarrow\ \Longrightarrow \sum_{k=1}^{i}a_{k}\downarrow\ \Longrightarrow a_{1}\downarrow$（$\uparrow$同理），即初始合并会减小$a_{1}$，而最终合并会增大$a_{1}$

换言之，$a_{1}$是所有"情况"中的最小值，进而$a_{1}\ge x\iff \forall i\in [1,n],1$所在段为$[1,i]$时$a_{1}\ge x$

具体的，$1$所在段为$[1,i]$时$a_{1}=\frac{\sum_{j=1}^{i}a_{j}-\sum_{j=1}^{i-1}(i-j)b_{j}}{i}$，进而限制即$\sum_{j=1}^{i}a_{j}\ge ix+\sum_{j=1}^{i-1}(i-j)b_{j}$

暴力dp并使用前缀和优化，单次dp时间复杂度为$o(n^{2}V_{c})$

记$B_{i}=\sum_{j=1}^{i-1}(i-j)b_{j}$，若$\exists i\in [1,n],ix+B_{i}>iV_{c}$或$\forall i\in [1,n],ix+B_{i}\le 0$，显然答案为0或$\prod_{i=1}^{n}(c_{i}+1)$

若两者均不满足，即$x\in (\min\frac{-B_{i}}{i},\min \frac{iV_{c}-B_{i}}{i}]$，显然其中恰有$V_{c}$个元素，使用上述dp即可

时间复杂度为$o(n^{2}V_{c}^{2}+qn)$（检验），可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 105
#define M 10005
#define mod 1000000007
#define ll long long
int n,q,x,cmx,cans,c[N],b[N],B[N],ans[M<<1],f[N][M];
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
    for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d",&b[i]);
    cans=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cmx=max(cmx,c[i]);
        cans=(ll)cans*(c[i]+1)%mod;
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<i;j++)B[i]+=(i-j)*b[j];
    memset(ans,-1,sizeof(ans));
    scanf("%d",&q);
    while (q--){
        scanf("%d",&x);
        bool flag=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if (i*x+B[i]>i*cmx){
                flag=1,printf("0\n");
                break;
            }
        if (flag)continue;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            if (i*x+B[i]>0)flag=1;
        if (!flag){
            printf("%d\n",cans);
            continue;
        }
        if (ans[x+M]>=0){
            printf("%d\n",ans[x+M]);
            continue;
        }
        memset(f,0,sizeof(f));
        ans[x+M]=0,f[0][0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=0;j<=i*cmx;j++){
                f[i-1][j]=(f[i-1][j]+f[i-1][j-1])%mod;
                if (j>=i*x+B[i]){
                    f[i][j]=f[i-1][j];
                    if (j>c[i])f[i][j]=(f[i][j]-f[i-1][j-c[i]-1]+mod)%mod;
                }
            }
        for(int j=0;j<M;j++)ans[x+M]=(ans[x+M]+f[n][j])%mod;
        printf("%d\n",ans[x+M]);
    }
    return 0;
}