[luogu4156]论战捆竹竿

考虑每一次增加的长度，显然是形如$n-border$，同时总可以取到

换言之，记$a_{i}$为所有$n-border$的值，问题即求有多少个$l\in [0,w-n]$使得$\exists x_{i}\in N^{},\sum_{i=1}^{m}a_{i}x_{i}=l$

根据border的性质，$a_{i}$可以被划分为$o(\log n)$个等差数列，具体证明略

记第$i$个等差数列为$\{x_{i}+kd_{i}\mid k\in [0,l_{i})\}$，（依次）求出前$i$个等差数列模$x_{i}$的同余最短路

考虑转移，分为两部分：

1.将模$x_{i-1}$的同余最短路变为模$x_{i}$的同余最短路

2.加入第$i$个等差数列中的元素

记模$x_{i-1}$的同余最短路答案为$g_{i}$，转换为模$x_{i}$的同余最短路即
$$
f_{g_{j}\ mod\ x_{i}}=\min g_{j},f_{j}=\min f_{(j-x_{i-1})\ mod\ x_{i}}+x_{i-1}
$$
关于这个过程，前者直接枚举$g_{j}$，后者即拆为了$\gcd(x_{i-1},x_{i})$个环，每一个环可以在（当前）最小值处断开

进一步的，加入第$i$个等差数列中的元素，即
$$
f_{j}=\min_{0\le k<l_{i}}f_{(j-kd_{i})\ mod\ x_{i}}+(x_{i}+kd_{i})
$$

关于这个过程，类似之前的处理方式，断开环后使用单调队列维护即可

当$i=n$时，所得到的即全局模$x_{n}$的同余最短路，进而可以求出答案

最终，总复杂度为$o(n\log n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 500005
#define ll long long
int t,n,m,x0,nex[N],a[N];
ll w,ans,g[N],f[N];
char s[N];
pair<int,ll>q[N];
void add(int x,int l,int d){
    if (!x0){
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        f[0]=0;
    }
    else{
        memcpy(g,f,sizeof(g));
        memset(f,0x3f,sizeof(f));
        for(int i=0;i<x0;i++)f[g[i]%x]=min(f[g[i]%x],g[i]);
        int D=__gcd(x,x0);
        for(int i=0;i<D;i++){
            int pos=i;
            for(int j=(i+x0)%x;j!=i;j=(j+x0)%x)
                if (f[j]<f[pos])pos=j;
            int lst=pos;
            for(int j=(pos+x0)%x;j!=pos;j=(j+x0)%x){
                f[j]=min(f[j],f[lst]+x0);
                lst=j;
            }
        }
    }
    x0=x;
    if (l==1)return;
    int D=__gcd(d,x);
    for(int i=0;i<D;i++){
        int pos=i,L=0,R=0;
        for(int j=(i+d)%x;j!=i;j=(j+d)%x)
            if (f[j]<f[pos])pos=j;
        q[0]=make_pair(0,f[pos]);
        for(int j=(pos+d)%x,k=1;j!=pos;j=(j+d)%x,k++){
            while ((L<=R)&&(q[L].first<=k-l))L++;
            if (L<=R)f[j]=min(f[j],q[L].second+k*d+x);
            while ((L<=R)&&(f[j]-k*d<q[R].second))R--;
            q[++R]=make_pair(k,f[j]-k*d);
        }
    }
} 
int main(){
    scanf("%d",&t);    
    while (t--){
        scanf("%d%lld%s",&n,&w,s+1),w-=n;
        m=x0=ans=nex[0]=nex[1]=0;
        for(int i=2,j=0;i<=n;i++){
            while ((j)&&(s[j+1]!=s[i]))j=nex[j];
            if (s[j+1]==s[i])j++;
            nex[i]=j;
        }
        for(int i=nex[n];;i=nex[i]){
            a[++m]=n-i;
            if (!i)break;
        }
        for(int i=1,j=1;i<=m;i++)
            if ((i==m)||(a[j+1]-a[j]!=a[i+1]-a[i])){
                add(a[j],i-j+1,a[j+1]-a[j]);
                j=i+1;
            }
        for(int i=0;i<x0;i++)
            if (f[i]<=w)ans+=(w-f[i])/x0+1;
        printf("%lld\n",ans);
    }
    return 0;
}