[loj2991]香山的树
对每一位依次确定，问题即求长度不超过$n$且以$t$为前缀的合法串数
考虑其中一个串$s$，由于$s$以$t$为前缀，对于$s$的任意子串$s'$，显然均有$t<s'$或$s'$是$t$的前缀
称满足上述性质的非循环串为半合法串，考虑一个出现了$cnt$次$t$的半合法串，将其旋转到所有以$t$为开头的位置，注意到这$cnt$个串中恰存在一个合法串，进而不妨看作每一个半合法串对答案的贡献为$\frac{1}{cnt}$
（注意出现次数包括首尾拼接，即需要再补上一个$t$除最后一个字符外的前缀）
忽略非循环串的限制，半合法串数可以使用下述dp计算——
对$t$建立KMP自动机（即$trans_{i,c}$为$t$最长的前缀满足其是$t[1,i]+c$的后缀），并定义$G_{len,node,cnt}$表示当前长度为$len,$位于节点$node,$且已经出现了$cnt$次$t$的（允许循环的）半合法串数，转移即$$\begin{cases}G_{|t|,ed,1}=1\\G_{len,node,cnt}\rightarrow G_{len+1,trans(node,c),cnt+[trans(node,c)=ed]}\end{cases}$$
（其中$st,ed$表示自动机的初始和结束状态$,c$要求不小于$t$中$node$对应位置的下一个字符）
关于首尾拼接，记$P_{node}$表示在$node$的基础上加入$t$除最后一个字符外的前缀后经过$ed$的次数，最终将$G_{len,node,cnt}\rightarrow F'_{len,cnt+P_{node}}$即得到忽略非循环串限制的答案
进一步的，对循环串枚举循环次数$k$和循环节长度$d$和循环次数$k$，转移即
$$
F_{len,cnt}=F'_{len,cnt}-\sum_{k\ge 2,k\mid \gcd(len,cnt),d=\frac{len}{k}}\begin{cases}F_{d,\frac{cnt}{k}}&d\ge |t|\\ [t[1,d]是合法串且t在(t[1,d])^{k}中出现了cnt次] &d<|t|\end{cases}
$$
单次dp复杂度为$o(n^{3}|\Sigma|)$，需要做$o(n|\Sigma|)$次dp，总复杂度为$o(n^{4}|\Sigma|^{2})$，可以通过
另外，关于答案存储，注意到循环串数量仅有$o(|\Sigma|^{\frac{n}{2}})$，因此计数中将答案对$10^{36}$取$\min$即可（用__int128存储）
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 55 4 #define D 26 5 #define ll long long 6 #define LL __int128 7 int n,m,l,nex[N],vis[N],P[N]; 8 ll K0; 9 LL V=1e36,K,g[N][N][N],f[N][N]; 10 char s[N]; 11 void Add(LL &x,LL y){ 12 x=min(x+y,V); 13 } 14 bool check(){ 15 for(int i=1;i<=m;i++){ 16 bool flag=0; 17 for(int j=1;j<=m;j++){ 18 if (s[(i+j-2)%m+1]<s[j])flag=1; 19 if (s[(i+j-2)%m+1]!=s[j])break; 20 } 21 if (flag)return 0; 22 } 23 for(int i=1;i<m;i++) 24 if (m%i==0){ 25 bool flag=0; 26 for(int j=1;j<=m-i;j++) 27 if (s[j]!=s[j+i]){ 28 flag=1; 29 break; 30 } 31 if (!flag)return 0; 32 } 33 return 1; 34 } 35 void init(){ 36 nex[0]=nex[1]=0; 37 for(int i=2,j=0;i<=m;i++){ 38 while ((j)&&(s[j+1]!=s[i]))j=nex[j]; 39 if (s[j+1]==s[i])j++; 40 nex[i]=j; 41 } 42 int m0=m; 43 memset(vis,0,sizeof(vis)); 44 for(int i=1;i<=m0;i++){ 45 m=i,vis[i]=check(); 46 if (!vis[i])continue; 47 for(int j=1;j<=m0-i;j++) 48 if (s[j]!=s[j+i]){ 49 vis[i]=0; 50 break; 51 } 52 } 53 memset(P,0,sizeof(P)); 54 for(int node=0;node<=m;node++){ 55 int k=node; 56 for(int j=1;j<m;j++){ 57 char c=s[k+1]; 58 if (k==m)c=s[nex[k]+1]; 59 if (s[j]<c){ 60 P[node]=-1; 61 break; 62 } 63 while ((k==m)||(k)&&(s[k+1]!=s[j]))k=nex[k]; 64 if (s[k+1]==s[j])k++; 65 if (k==m)P[node]++; 66 } 67 } 68 } 69 LL calc(){ 70 init(); 71 for(int i=1;i<m;i++) 72 if (s[nex[i]+1]>s[i+1])return 0; 73 memset(g,0,sizeof(g)); 74 g[m][m][1]=1; 75 for(int len=m;len<n;len++) 76 for(int node=m;node>=0;node--) 77 for(int cnt=1;cnt<=len-m+1;cnt++){ 78 if (!g[len][node][cnt])continue; 79 int d=s[node+1]-'a'; 80 if (node==m)d=s[nex[node]+1]-'a'; 81 for(int c=d;c<D;c++){ 82 int k=node; 83 while ((k==m)||(k)&&(s[k+1]!=c+'a'))k=nex[k]; 84 if (s[k+1]==c+'a')k++; 85 Add(g[len+1][k][cnt+(k==m)],g[len][node][cnt]); 86 } 87 } 88 memset(f,0,sizeof(f)); 89 for(int len=m;len<=n;len++) 90 for(int node=0;node<=m;node++) 91 for(int cnt=1;cnt<=len-m+1;cnt++) 92 if (P[node]>=0)Add(f[len][cnt+P[node]],g[len][node][cnt]); 93 LL ans=0; 94 for(int len=m;len<=n;len++) 95 for(int cnt=1;cnt<=n;cnt++){ 96 for(int k=2;k<=min(len,cnt);k++) 97 if ((len%k==0)&&(cnt%k==0)){ 98 int d=len/k; 99 if (d>=m)f[len][cnt]-=f[d][cnt/k]; 100 else{ 101 if ((vis[d])&&(k==cnt))f[len][cnt]--; 102 } 103 } 104 Add(ans,f[len][cnt]/cnt); 105 } 106 return ans; 107 } 108 void write(LL x){ 109 if (!x)return; 110 write(x/10); 111 putchar(x%10+'0'); 112 } 113 int main(){ 114 scanf("%d%lld%s",&n,&K0,s+1); 115 l=strlen(s+1),K=K0-1; 116 for(m=1;m<=l;m++){ 117 int d=s[m]-'a'; 118 for(int c=0;c<d;c++)s[m]=c+'a',K+=calc(); 119 s[m]=d+'a'; 120 if (check())K++; 121 } 122 for(m=1;m<=n;m++){ 123 for(int c=0;c<D;c++){ 124 s[m]=c+'a'; 125 LL cnt=calc(); 126 if (K<=cnt)break; 127 K-=cnt; 128 if (c==D-1){ 129 printf("-1\n"); 130 return 0; 131 } 132 } 133 if ((check())&&(--K==0))break; 134 } 135 for(int i=1;i<=m;i++)putchar(s[i]); 136 putchar('\n'); 137 return 0; 138 }
