[atAGC044E]Random Pawn

记$ans_{i}$为初始位于$i$的答案，显然有$ans_{i}=\max(a_{i},\frac{ans_{i-1}+ans_{i+1}}{2}-b_{i})$

通过旋转，不妨假设$\forall 1\le i<n,a_{n}\ge a_{i}$，并定义$a_{0}=a_{n}$

此时，显然有$ans_{0}=ans_{n}=a_{0}$，即首尾并不需要转移，问题变为了一条链

构造一组$\{c_{i}\}$，记$s_{i}=ans_{i}-c_{i}$，代入可得$s_{i}=\max(a_{i}-c_{i},\frac{(s_{i-1}+c_{i-1})+(s_{i+1}+c_{i+1})}{2}-(b_{i}+c_{i}))$

若$\{c_{i}\}$满足$\frac{c_{i-1}+c_{i+1}}{2}=b_{i}+c_{i}$，那么上式也即$s_{i}=\max(a_{i}-c_{i},\frac{s_{i-1}+s_{i+1}}{2})$

注意到此时的$s_{i}$即$(i,a_{i}-c_{i})$构成的上凸包中$i$处的值，直接计算即可，最后再加上$c_{i}$即得到$ans_{i}$

关于如何使$c_{i}$满足该式子，注意到$c_{0}$和$c_{n}$是任意的，直接令$c_{0}=c_{1}=0$并递推即可

时间复杂度为$o(n)$，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200005
#define ll long long
#define ld long double
int n,bb[N],b[N],st[N];
ll aa[N],a[N],c[N];
ld ans;
ld get_k(int x,int y){
    return 1.0*(a[x]-a[y])/(x-y);
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&aa[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&bb[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)aa[0]=max(aa[0],aa[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if (aa[i]==aa[0]){
            for(int j=1;j<=n;j++){
                a[(j+n-i-1)%n+1]=aa[j];
                b[(j+n-i-1)%n+1]=bb[j];
            }
            break;
        }
    a[0]=a[n],c[0]=c[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)c[i]=2*(b[i-1]+c[i-1])-c[i-2];
    for(int i=0;i<=n;i++)a[i]-=c[i];
    for(int i=0;i<=n;i++){
        while ((st[0]>1)&&(get_k(st[st[0]-1],st[st[0]])<get_k(st[st[0]-1],i)))st[0]--;
        st[++st[0]]=i;
    }
    for(int i=1;i<st[0];i++)
        for(int j=st[i]+1;j<=st[i+1];j++)ans+=get_k(st[i],st[i+1])*(j-st[i])+a[st[i]]+c[j];
    printf("%.10Lf\n",ans/n);
    return 0;
}