[cf566C]Logistical Questions
记$d(x,y)$为$x$到$y$的距离，$cost_{x}=\sum_{i=1}^{n}w_{i}d(x,i)^{\frac{3}{2}}$为$x$的代价
取$C$为足够大量，对于一条边权为$w$的边，在边上新建$wC-1$个点，这些点点权为0（即本身无影响），并将边拆成$wC$段，那么每一段边权为$\frac{1}{C}$
任取（新树中）一条路径$\{a_{1},a_{2},...,a_{l}\}$，则$cost_{a_{i}}$具有凸性
根据凸性定义，即求证$\forall 2\le j\le l-1,2cost_{a_{j}}\le cost_{a_{j-1}}+cost_{a_{j+1}}$
代入其式子，不妨对每一个$i$都保证此性质，也即求证$2d(a_{j},i)^{\frac{3}{2}}\le d(a_{j-1},i)^{\frac{3}{2}}+d(a_{j+1},i)^{\frac{3}{2}}$
对$i$的位置分类讨论：
1.$i$距离$a_{j}$最近，则$d(a_{j},i)\le d(a_{j-1},i),d(a_{j+1},i)$，显然成立
2.$i$不距离$a_{j}$最近，记$x=d(a_{j},i)$，那么即$2x^{\frac{3}{2}}\le (x-\frac{1}{C})^{\frac{3}{2}}+(x+\frac{1}{C})^{\frac{3}{2}}$
令$f(x)=x^{\frac{3}{2}}$，代入并移项，也即$f(x)-f(x-\frac{1}{C})\le f(x+\frac{1}{C})-f(x)$
当$C$足够大时，两者可以看作$\frac{f'(x)}{C}$和$\frac{f'(x+\frac{1}{C})}{C}$，注意到$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}$单调递增，即成立
进而考虑其中非新建的点$\{b_{1},b_{2},...,b_{k}\}$，根据$cost_{a_{i}}$的凸性，$cost_{b_{i}}$的形式必然是先严格单调递减、再有若干个相同的数（最小值）、最后严格单调递增（首尾两段允许为空）
由于（原树中）任意一条路径都可以被以此法选择，即所有路径都为此形式
（以下删去上述新建的点，即仍考虑原树）
约定$x$为质心当且仅当$\forall 1\le i\le n,cost_{x}\le cost_{i}$，题目即要找到任意一个质心即可
任取一点$x$，对与$x$相邻的点$y$，至多存在一个$y$满足$cost_{y}<cost_{x}$
（否则任取其中两个记为$y_{1}$和$y_{2}$，考虑$y_{1}$到$y_{2}$的路径即矛盾）
进一步的，再对其分类讨论：
1.如果不存在$y$满足$cost_{y}<cost_{x}$，则对于树上任意一点$z$，考虑其到$x$的路径，由于最后一步仍没有递增，根据路径的形式不难得到$cost_{x}\le cost_{z}$，也即$x$为质心
2.如果存在$y$满足$cost_{y}<cost_{x}$，那么对于以$y$为根时$x$子树中的任意一点$z$，考虑其到$y$的路径，由于最后一步严格单调递减，根据路径的形式不难得到$cost_{y}<cost_{z}$，也即$z$一定不为质心
综上，不难得到下述暴力做法——
初始连通子树$T_{0}=T$，并任取$T_{0}$中一点$x$，求出所有与$x$相邻的点$y$的答案，若不存在$y$满足$cost_{y}<cost_{x}$则$x$为质心，若存在$y$满足$cost_{y}<cost_{x}$（必然唯一）令$T_{0}$为删去$x$后$y$所在的连通块并递归即可（第二种情况，剩下的部分一定不包含质心）
如果令$x$为$T_{0}$中的重心（指通常的定义），那么每一次$T_{0}$的规模至少缩小一半，即至多$o(\log n)$层
但如果暴力计算所有$y$，仍会导致复杂度过高（每一次计算是$o(n)$的），考虑优化：
对于所有边$(x,y,w)$，在边上新建一个点，其点权为0、到$x$距离为1、到$y$距离为$w-1$
由此，只需要求出这些新建点的$cost$即可（注意其并不影响上述分析），维护（以$x$为根后）每一个新建点子树内所有点到其距离的$\frac{3}{2}$次之和、到其距离+2的$\frac{3}{2}$次之和即可
（注意虽然重心一定在$T_{0}$中，但递归的仍是整个$T$）
时间复杂度为$o(n\log n)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 200005 4 struct Edge{ 5 int nex,to,len; 6 }edge[N<<1]; 7 int n,E,rt,x,y,z,a[N],head[N],sz[N],vis[N]; 8 void add(int x,int y,int z){ 9 edge[E]=Edge{head[x],y,z}; 10 head[x]=E++; 11 } 12 void get_sz(int k,int fa){ 13 sz[k]=1; 14 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 15 if ((!vis[edge[i].to])&&(edge[i].to!=fa)){ 16 get_sz(edge[i].to,k); 17 sz[k]+=sz[edge[i].to]; 18 } 19 } 20 void get_rt(int k,int fa,int s){ 21 int mx=s-sz[k]; 22 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 23 if ((!vis[edge[i].to])&&(edge[i].to!=fa)){ 24 get_rt(edge[i].to,k,s); 25 mx=max(mx,sz[edge[i].to]); 26 } 27 if (mx<=(s>>1))rt=k; 28 } 29 double get_s(int k,int fa,int s){ 30 double sum=a[k]*(pow(s,1.5)-pow(s+2,1.5)); 31 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 32 if (edge[i].to!=fa)sum+=get_s(edge[i].to,k,s+edge[i].len); 33 return sum; 34 } 35 double get_cost(int k,int fa=0,int s=0){ 36 double sum=a[k]*pow(s,1.5); 37 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 38 if (edge[i].to!=fa)sum+=get_cost(edge[i].to,k,s+edge[i].len); 39 return sum; 40 } 41 int dfs(int k){ 42 get_sz(k,0); 43 get_rt(k,0,sz[k]); 44 int pos=0; 45 double s=1; 46 for(int i=head[rt];i!=-1;i=edge[i].nex){ 47 double ss=get_s(edge[i].to,rt,edge[i].len-1); 48 if (ss<s)pos=edge[i].to,s=ss; 49 } 50 if ((!pos)||(get_cost(rt)<=get_cost(pos)))return rt; 51 vis[rt]=1; 52 return dfs(pos); 53 } 54 int main(){ 55 scanf("%d",&n); 56 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); 57 memset(head,-1,sizeof(head)); 58 for(int i=1;i<n;i++){ 59 scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); 60 add(x,y,z),add(y,x,z); 61 assert(z>=1); 62 } 63 x=dfs(1); 64 printf("%d %.7f\n",x,get_cost(x)); 65 return 0; 66 }
