[loj3461]Paint by Letters
将方格（参考题目）看作一个点，相邻的两点若颜色相同则连边，即得到一张网格图，而每次询问即求子矩形内的点导出子图对应的连通块数
注意到网格图也是平面图，根据欧拉公式有$V+F-E=1+C$（其中$V,F,E$和$C$分别为点数、块数、边数和连通块数），那么不妨去求$V,F$和$E$
显然$V=(x_{2}-x_{1}+1)(y_{2}-y_{1}+1),E$可以通过二维差分$o(1)$求出（$o(nm)$预处理）
关于$F$，将原网格图中的格子看作一个点，相邻两个格子间有边当且仅当对应的公共边在原图中不存在，由此即得到一张$(n-1)(m-1)$个点的新网格图
此时的问题类似于求$C$，但不需要考虑与矩形外有边的连通块，因此可以计算
具体的，记原图中$(x,y),(x,y+1),(x+1,y)$和$(x+1,y+1)$为顶点的方格在新图中对应的点为$(x,y)$，那么问题所求的即是新图中全部在$x\in [x_{1},x_{2}),y\in [y_{1},y_{2})$这个范围内的连通块数+1
（注意到不严格在其内部的，必然会与外界成为同一个块）
可以对每一个连通块求出包含其的极小矩形，但之后的问题并不容易处理
在每一个连通块中任选一个点，显然连通块全部在该矩形内部的必要条件为该点在矩形内部
由此，同样二维差分求出这样的连通块数，再枚举矩形更外面一圈，若该点所在的连通块对应的点在矩形内部则将其删除（重复只删除一次）
时间复杂度为$o(nm+qn+qm)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 1005 4 #define fi first 5 #define se second 6 #define y1 y11 7 struct Edge{ 8 int nex,to; 9 }edge[4*N*N]; 10 pair<int,int>pos[N*N]; 11 int n,m,q,V,E,F,scc,x1,y1,x2,y2,sumx[N][N],sumy[N][N],sumf[N][N],head[N*N],bl[N*N],vis[N*N]; 12 char s[N][N]; 13 int id(int x,int y){ 14 if ((!x)||(!y)||(x==n)||(y==m))return 0; 15 return (x-1)*(m-1)+y; 16 } 17 void add(int x,int y){ 18 edge[E].nex=head[x]; 19 edge[E].to=y; 20 head[x]=E++; 21 } 22 void dfs(int k){ 23 if (bl[k])return; 24 bl[k]=scc; 25 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex)dfs(edge[i].to); 26 } 27 int main(){ 28 scanf("%d%d%d",&n,&m,&q); 29 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%s",s[i]+1); 30 for(int i=2;i<=n;i++) 31 for(int j=1;j<=m;j++) 32 sumx[i][j]=sumx[i-1][j]+sumx[i][j-1]-sumx[i-1][j-1]+(s[i][j]==s[i-1][j]); 33 for(int i=1;i<=n;i++) 34 for(int j=2;j<=m;j++) 35 sumy[i][j]=sumy[i-1][j]+sumy[i][j-1]-sumy[i-1][j-1]+(s[i][j]==s[i][j-1]); 36 memset(head,-1,sizeof(head)); 37 for(int i=0;i<n;i++) 38 for(int j=0;j<m;j++){ 39 if ((j)&&(s[i+1][j]!=s[i+1][j+1])){ 40 add(id(i,j),id(i+1,j)); 41 add(id(i+1,j),id(i,j)); 42 } 43 if ((i)&&(s[i][j+1]!=s[i+1][j+1])){ 44 add(id(i,j),id(i,j+1)); 45 add(id(i,j+1),id(i,j)); 46 } 47 } 48 for(int i=0;i<n;i++) 49 for(int j=0;j<m;j++) 50 if (!bl[id(i,j)]){ 51 pos[++scc]=make_pair(i,j); 52 dfs(id(i,j)); 53 } 54 for(int i=1;i<=scc;i++)sumf[pos[i].fi][pos[i].se]=1; 55 sumf[0][0]=0; 56 for(int i=1;i<n;i++) 57 for(int j=1;j<m;j++)sumf[i][j]+=sumf[i-1][j]+sumf[i][j-1]-sumf[i-1][j-1]; 58 for(int i=1;i<=q;i++){ 59 scanf("%d%d%d%d",&x1,&y1,&x2,&y2); 60 V=(x2-x1+1)*(y2-y1+1),E=0; 61 E+=sumx[x2][y2]-sumx[x1][y2]-sumx[x2][y1-1]+sumx[x1][y1-1]; 62 E+=sumy[x2][y2]-sumy[x2][y1]-sumy[x1-1][y2]+sumy[x1-1][y1]; 63 x2--,y2--; 64 F=sumf[x2][y2]-sumf[x1-1][y2]-sumf[x2][y1-1]+sumf[x1-1][y1-1]; 65 for(int j=y1;j<=y2;j++){ 66 int k=bl[id(x1-1,j)]; 67 if ((x1<=pos[k].fi)&&(pos[k].fi<=x2)&&(y1<=pos[k].se)&&(pos[k].se<=y2)&&(vis[k]!=i)){ 68 F--; 69 vis[k]=i; 70 } 71 k=bl[id(x2+1,j)]; 72 if ((x1<=pos[k].fi)&&(pos[k].fi<=x2)&&(y1<=pos[k].se)&&(pos[k].se<=y2)&&(vis[k]!=i)){ 73 F--; 74 vis[k]=i; 75 } 76 } 77 for(int j=x1;j<=x2;j++){ 78 int k=bl[id(j,y1-1)]; 79 if ((x1<=pos[k].fi)&&(pos[k].fi<=x2)&&(y1<=pos[k].se)&&(pos[k].se<=y2)&&(vis[k]!=i)){ 80 F--; 81 vis[k]=i; 82 } 83 k=bl[id(j,y2+1)]; 84 if ((x1<=pos[k].fi)&&(pos[k].fi<=x2)&&(y1<=pos[k].se)&&(pos[k].se<=y2)&&(vis[k]!=i)){ 85 F--; 86 vis[k]=i; 87 } 88 } 89 printf("%d\n",V+F-E); 90 } 91 return 0; 92 }
