[luogu7418]Counting Graphs P
参考[luogu7417]，同样求出最短路，得到二元组$(x,y)$并排序，记$tot_{(x,y)}$为$(x,y)$的数量
其中所给的两个条件，即分别要求：
1.$(x,y)$只能和$(x\pm 1,y\pm 1)$连边
2.每一个$(x,y)$都向$(x-1,y\pm 1)$中的一个连边、$(x\pm 1,y-1)$中的一个连边
（另外，注意在$x+1=y$时$(x+1,y-1)$也即为$(x,y)$自身）
从前往后依次dp，假设考虑到二元组为$(x,y)$，将之前二元组分为两类——
(1)对于其中不为$(x,y)$的二元组之后已经不存在能通过连边满足第2个条件的点了，那么就需要保证第2个条件都已经满足，即状态中不需要再记录
(2)对于二元组$(x,y)$，之后也不存在$(x-1,y\pm 1)$的点了，因此$x$的一维必须要已经满足，并记录$y$的一维不满足的数个数即可
由此，即得到一个二维的状态，将其记为$f_{(x,y),i}$（其中$i$的定义参考(2)中）
关于转移，有以下四类本质不同的边：
(1)$(x,y)$与$(x-1,y+1)$中$y$的一维已经满足点的的边
(2)$(x,y)$与$(x-1,y+1)$中$y$的一维仍未满足的点的边
(3)$(x,y)$与$(x-1,y-1)$的边
(4)若$x+1=y$，$(x,y)$和$(x,y)$之间的边
先转移前两类边（避免出现三维状态），枚举后者的点数，转移即
$$
f_{(x,y),i}={tot_{(x,y)}\choose i}\sum_{j=0}^{tot_{(x-1,y+1)}}G(tot_{(x-1,y+1)},j,tot_{(x,y)}-i)f_{(x-1,y+1),j}
$$
（注意此时的$i$的定义并不为最终的定义，仅是一个中间过程）
其中$G(x,z,y)$表示在左边$x$个点和右边$y$个点连边的$2^{xy}$张图中，满足左边特定的$z$个点（如前$z$个点）和右边的$y$个点度数均非0的方案数，对左边容斥有
$$
G(x,z,y)=\sum_{i=0}^{z}(-1)^{i}{z\choose i}(2^{x-i}-1)^{y}
$$
再转移第3类边，考虑转移的状态$f_{(x,y),j}$，这$j$个点必须都选择（否则$x$这一维不满足），因此转移即
$$
f_{(x,y),i}=\sum_{j=0}^{tot_{(x,y)}}{tot_{(x,y)}-j\choose i}(2^{tot_{(x-1,y-1)}}-1)^{tot_{(x,y)}-i}f_{(x,y),j}
$$
（这里是类似于01背包的，即后者$f_{(x,y),j}$应该是未转移第3类边的结果）
最后转移第4类边，其实这只是一个特例，更完整的情况应该是对于$(x+1,y-1)$不再出现的点（即其之后不再参与转移，之后也没有点可以帮助其满足第2个条件）将其的贡献乘到答案上
具体的，这类状态又分为两类：
1.$x+1\ne y$，这类状态不能通过自环使其满足条件，因此贡献即$f_{(x,y),0}$
2.$x+1=y$，这还可以通过自环使其满足条件
具体的，贡献即$\sum_{i=0}^{tot_{(x,y)}}G(tot_{(x,y)},i)f_{(x,y),i}$，其中$G(x,y)$表示在$x$个点中任意连边的$2^{\frac{x(x+1)}{2}}$张图中（允许自环），满足特定的$y$个点度数均非0的方案数，对这$y$个点容斥有
$$
G(x,y)=\sum_{i=0}^{y}(-1)^{i}{y\choose i}2^{\frac{(x-i)(x-i+1)}{2}}
$$
不难发现$f$的状态数实际仅为$o(n)$，转移复杂度为$o(n^{2})$，总复杂度即$o(n^{3})$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 105 4 #define M 10005 5 #define mod 1000000007 6 #define oo 0x3f3f3f3f 7 #define ll long long 8 struct Edge{ 9 int nex,to; 10 }edge[M*3]; 11 queue<int>q; 12 int t,n,m,E,x,y,ans,mi[M],Mi[N][N],C[N][N],head[N<<1],d[N<<1],tot[N][N],g[N],f[N]; 13 void add(int x,int y){ 14 edge[E].nex=head[x]; 15 edge[E].to=y; 16 head[x]=E++; 17 } 18 int G(int x,int y){ 19 int ans=0; 20 for(int i=0;i<=y;i++){ 21 int s=(ll)C[y][i]*mi[(x-i)*(x-i+1)/2]%mod; 22 if (i&1)ans=(ans-s+mod)%mod; 23 else ans=(ans+s)%mod; 24 } 25 return ans; 26 } 27 int G(int x,int z,int y){ 28 int ans=0; 29 for(int i=0;i<=z;i++){ 30 int s=(ll)C[z][i]*Mi[x-i][y]%mod; 31 if (i&1)ans=(ans-s+mod)%mod; 32 else ans=(ans+s)%mod; 33 } 34 return ans; 35 } 36 int main(){ 37 mi[0]=1; 38 for(int i=1;i<M;i++)mi[i]=2*mi[i-1]%mod; 39 for(int i=0;i<N;i++){ 40 Mi[i][0]=1; 41 for(int j=1;j<N;j++)Mi[i][j]=(ll)Mi[i][j-1]*(mi[i]-1)%mod; 42 } 43 for(int i=0;i<N;i++){ 44 C[i][0]=C[i][i]=1; 45 for(int j=1;j<i;j++)C[i][j]=(C[i-1][j-1]+C[i-1][j])%mod; 46 } 47 scanf("%d",&t); 48 while (t--){ 49 scanf("%d%d",&n,&m); 50 E=0,ans=1; 51 memset(head,-1,sizeof(head)); 52 memset(d,oo,sizeof(d)); 53 memset(tot,0,sizeof(tot)); 54 for(int i=1;i<=m;i++){ 55 scanf("%d%d",&x,&y); 56 add(x,y+n),add(y+n,x); 57 add(x+n,y),add(y,x+n); 58 } 59 d[1]=0; 60 q.push(1); 61 while (!q.empty()){ 62 int k=q.front(); 63 q.pop(); 64 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 65 if (d[edge[i].to]==oo){ 66 d[edge[i].to]=d[k]+1; 67 q.push(edge[i].to); 68 } 69 } 70 if (d[n+1]==oo){ 71 for(int i=1;i<=n;i++)tot[0][min(d[i],d[i+n])]++; 72 for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ll)ans*Mi[tot[0][i-1]][tot[0][i]]%mod; 73 printf("%d\n",ans); 74 continue; 75 } 76 for(int i=1;i<=n;i++)tot[d[i]+d[i+n]-d[n+1]>>1][min(d[i],d[i+n])]++; 77 for(int x=0;x<=n;x++){ 78 memset(f,0,sizeof(f)); 79 f[0]=1; 80 for(int y=x;y<=n;y++){ 81 if (!tot[x][y]){ 82 if (y-x<=(d[n+1]>>1))ans=(ll)ans*f[0]%mod; 83 else{ 84 int s=0; 85 for(int i=0;i<=tot[x][y-1];i++)s=(s+(ll)G(tot[x][y-1],i)*f[i])%mod; 86 ans=(ll)ans*s%mod; 87 } 88 memset(f,0,sizeof(f)); 89 f[0]=1; 90 continue; 91 } 92 if ((!x)&&(!y)){ 93 f[0]=0,f[1]=1; 94 continue; 95 } 96 memcpy(g,f,sizeof(g)); 97 memset(f,0,sizeof(f)); 98 for(int i=0;i<=tot[x][y];i++){ 99 int s=0; 100 for(int j=0;j<=tot[x][y-1];j++)s=(s+(ll)G(tot[x][y-1],j,tot[x][y]-i)*g[j])%mod; 101 f[i]=(f[i]+(ll)C[tot[x][y]][i]*s)%mod; 102 } 103 memcpy(g,f,sizeof(g)); 104 memset(f,0,sizeof(f)); 105 if (!x){ 106 f[tot[x][y]]=g[0]; 107 continue; 108 } 109 for(int i=0;i<=tot[x][y];i++) 110 for(int j=0;j<=tot[x][y];j++)f[i]=(f[i]+(ll)C[tot[x][y]-j][i]*Mi[tot[x-1][y-1]][tot[x][y]-i]%mod*g[j])%mod; 111 } 112 } 113 printf("%d\n",ans); 114 } 115 return 0; 116 }
