[hdu7078]Pty with card
显然问题被分为两部分，先考虑如何求$F(n)$——
令第一次所选的人编号为1，其之后所有人按顺时针依次编号为$2,3,...,n$，那么用一个序列来描述状态，其中第$i$个元素为当前存在的人中编号第$i$小的人手牌数（显然序列长度即为剩余人数）
初始序列显然为$\{1,1,...,1\}$（共$n$个1），并对$n$的奇偶性分类讨论：
1.若$n$为奇数，则$n$轮后序列为$\{3,2,2,...,2\}$（其中共$\frac{n-3}{2}$个2）
2.若$n$为偶数，则$n$轮后序列为$\{4,2,2,...,2\}$（其中共$\frac{n}{2}-2$个2）
（关于这个结果，手动模拟若干次即可得到规律）
注意到此时所有元素都$\ge 2$，那么若序列长度为$2m+1$（其中$m\in Z^{+}$），循环节即恰为$4m+2$
关于这个性质，考虑两轮中每一个人都会在奇数轮操作一次、偶数轮操作一次，那么总共即恰好失去3张卡片并得到3张卡片，因此卡牌数量不变，且由于初始有两张卡片，不会有人"出局"
下面，考虑序列长度为$2m$，再对两类分别讨论：
1.若$n$为奇数（注意不是$m$），则$2m$轮后序列为$\{2,3,1,3,1,3...,1,3\}$（其中共$m-1$对$1,3$），再$2m$轮后序列为$\{5,4,4,...,4\}$（其中共$m-1$个4）
不难发现如果序列长度仍是偶数，其又会变为$\{9,8,8,...,8\},\{17,16,16,...,16\},...$（可以归纳证明），直至序列长度为奇数（答案为序列长度的两倍）
2.若$n$为偶数，类似的$4m$轮后序列为$\{6,4,4,...,4\}$（其中共$m-1$个4），如果序列长度仍是偶数，其又会变为$\{10,8,8,...,8\},\{18,16,16,...,16\},...$，直至序列长度为奇数
（另外，若最终序列长度为1则$F(n)=0$）
综上，有
$$
F(n)=\begin{cases}0&\left(n\le 2\right)\or \left(lowbit(m)=1\right)\\\frac{2m}{lowbit(m)}&\left(n\ge 3\right)\and \left(lowbit(m)\ne 1\right)\end{cases}
$$
（其中$m=\lfloor\frac{n-1}{2}\rfloor$，$lowbit(m)$指$m$二进制下最低位上的1对应的值）
接下来，考虑如何求$\forall 1\le x\le n,\sum_{i=1}^{n}F(v_{i}+d(i,x))$——
将其点分治，问题即是要维护一个集合$S$，支持：1.加入一个元素$x$；2.（给定$x$）查询$\sum_{y\in S}F(x+y)$
这个并不容易维护，但注意到查询中$x$即为某点到当前点分中心的距离，是连续变化的，因此这个问题还可以看作支持：1.加入一个元素$x$；2.令所有元素+1；3.查询$\sum_{x\in S}F(x)$
维护一棵trie树，并且从低到高存储数字，依次考虑这些操作：
1.加入一个元素$x$，与普通的trie树相同
2.令所有元素+1，即不断交换左右儿子，并递归（新的）左儿子即可
3.查询$\sum_{x\in S}F(x)$，不断递归左儿子，维护子树中所有元素的和即可（注意去掉$lowbit(m)=1$的情况）
由此，单次操作时间复杂度为$o(\log n)$，总复杂度即$o(n\log^{2}n)$，可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 100005 4 #define ll long long 5 struct Edge{ 6 int nex,to; 7 }edge[N<<1]; 8 vector<int>v[N]; 9 int E,rt,t,n,x,y,mx,a[N],head[N],vis[N],sz[N],f[N<<2]; 10 ll ans[N]; 11 int lowbit(int k){ 12 return (k&(-k)); 13 } 14 namespace Trie{ 15 int V,tag,st[N],L[N*6],sz[N*6],ch[N*6][2]; 16 ll sum[N*6]; 17 int New(){ 18 int k=++V; 19 L[k]=sz[k]=sum[k]=ch[k][0]=ch[k][1]=0; 20 return k; 21 } 22 ll get(int k){ 23 return sum[k]+(ll)tag*sz[k]; 24 } 25 void init(){ 26 V=tag=0; 27 New(); 28 } 29 void add_val(int x){ 30 st[0]=st[1]=1; 31 for(int i=0,k=1;i<18;i++){ 32 int p=((x>>i)&1); 33 if (!ch[k][p])ch[k][p]=New(); 34 k=st[++st[0]]=ch[k][p]; 35 } 36 for(int i=1;i<=st[0];i++)sz[st[i]]++,sum[st[i]]+=x; 37 L[st[st[0]]]=st[st[0]]; 38 for(int i=st[0]-1;i;i--)L[st[i]]=L[ch[st[i]][0]]; 39 } 40 void Add(){ 41 tag++; 42 st[0]=st[1]=1; 43 for(int i=0,k=1;(i<18)&&(k);i++){ 44 swap(ch[k][0],ch[k][1]); 45 k=st[++st[0]]=ch[k][0]; 46 } 47 L[st[st[0]]]=st[st[0]]; 48 for(int i=st[0]-1;i;i--)L[st[i]]=L[ch[st[i]][0]]; 49 } 50 ll query(){ 51 ll ans=0; 52 for(int i=1,k=ch[1][0];(i<18)&&(k);i++){ 53 ans+=(get(ch[k][1])-get(L[ch[k][1]])>>i-1); 54 k=ch[k][0]; 55 } 56 tag--; 57 for(int i=1,k=ch[1][1];(i<18)&&(k);i++){ 58 ans+=(get(ch[k][1])-get(L[ch[k][1]])>>i-1); 59 k=ch[k][0]; 60 } 61 tag++; 62 return ans; 63 } 64 } 65 void add_edge(int x,int y){ 66 edge[E].nex=head[x]; 67 edge[E].to=y; 68 head[x]=E++; 69 } 70 void get_sz(int k,int fa){ 71 sz[k]=1; 72 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 73 if ((!vis[edge[i].to])&&(edge[i].to!=fa)){ 74 get_sz(edge[i].to,k); 75 sz[k]+=sz[edge[i].to]; 76 } 77 } 78 void get_rt(int k,int fa,int s){ 79 int mx=s-sz[k]; 80 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 81 if ((!vis[edge[i].to])&&(edge[i].to!=fa)){ 82 get_rt(edge[i].to,k,s); 83 mx=max(mx,sz[edge[i].to]); 84 } 85 if (mx<=(s>>1))rt=k; 86 } 87 void get_val(int k,int fa,int s){ 88 if (mx<s)v[++mx].clear(); 89 v[s].push_back(k); 90 Trie::add_val(a[k]+s); 91 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 92 if ((!vis[edge[i].to])&&(edge[i].to!=fa))get_val(edge[i].to,k,s+1); 93 } 94 void calc(int k,int p){ 95 Trie::init(); 96 mx=0,v[0].clear(); 97 get_val(k,0,p); 98 p=1-(p<<1); 99 for(int i=0;i<=mx;i++){ 100 ll s=Trie::query(); 101 for(int j=0;j<v[i].size();j++)ans[v[i][j]]+=p*s; 102 Trie::Add(); 103 } 104 } 105 void dfs(int k){ 106 get_sz(k,0); 107 get_rt(k,0,sz[k]); 108 calc(rt,0); 109 vis[rt]=1; 110 for(int i=head[rt];i!=-1;i=edge[i].nex) 111 if (!vis[edge[i].to])calc(edge[i].to,1); 112 for(int i=head[rt];i!=-1;i=edge[i].nex) 113 if (!vis[edge[i].to])dfs(edge[i].to); 114 } 115 int main(){ 116 for(int i=2;i<(N<<2);i++) 117 if (lowbit(i>>1)==1)f[i]=0; 118 else f[i]=((i>>1)/lowbit(i>>1)<<1); 119 scanf("%d",&t); 120 while (t--){ 121 scanf("%d",&n); 122 E=0; 123 memset(head,-1,sizeof(head)); 124 memset(vis,0,sizeof(vis)); 125 memset(ans,0,sizeof(ans)); 126 for(int i=1;i<=n;i++){ 127 scanf("%d",&a[i]); 128 a[i]--; 129 } 130 for(int i=1;i<n;i++){ 131 scanf("%d%d",&x,&y); 132 add_edge(x,y); 133 add_edge(y,x); 134 } 135 dfs(1); 136 for(int i=1;i<n;i++)printf("%lld ",ans[i]); 137 printf("%lld\n",ans[n]); 138 } 139 return 0; 140 }
