[hdu7013]String Mod

枚举$a$​​​和$b$​​​​​出现的次数，问题即求
$$
A_{i,j}=\sum_{p=0}^{L}\sum_{q=0}^{L-p}[n\mid (p-i)][n\mid (q-j)]{L\choose p}{L-p\choose q}(k-2)^{L-(p+q)}
$$
考虑单位根反演，即$[n\mid i]=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{ik}}{n}$​​（其中$\omega=g^{\frac{P-1}{n}}$​，$g$​为$P$​​的原根），代入后也即
$$
\sum_{p=0}^{L}\sum_{q=0}^{L-p}\frac{\sum_{x=0}^{n-1}\omega^{(p-i)x}}{n}\frac{\sum_{y=0}^{n-1}\omega^{(q-j)y}}{n}{L\choose p}{L-p\choose q}(k-2)^{L-(p+q)}
$$

将其整理并调换枚举顺序，即
$$
\frac{1}{n^{2}}\sum_{x=0}^{n-1}\sum_{y=0}^{n-1}\frac{1}{\omega^{ix}}\frac{1}{\omega^{jy}}\sum_{p=0}{L\choose p}(\omega^{x})^{p}\sum_{q=0}^{L-p}{L-p\choose q}(k-2)^{(L-p)-q}
$$
根据二项式定理，即
$$
\frac{1}{n^{2}}\sum_{x=0}^{n-1}\sum_{y=0}^{n-1}\frac{1}{\omega^{ix}}\frac{1}{\omega^{jy}}(\omega^{x}+{\omega^{y}}+k-2)^{L}
$$
类似于生成函数，考虑构造矩阵，即
$$
\begin{cases}X_{i,j}=Y_{i,j}=\frac{1}{\omega^{ij}}\\V_{i,j}=\frac{1}{n^{2}}(\omega^{i}+\omega^{j}+k-2)^{L}\end{cases}
$$
（$i$​​和$j$​​的范围都是$[0,n)$​​，即矩阵大小为$n\times n$​​​）

根据式子不难得到$A=XVY$​，矩阵乘法计算即可

（另外关于$P$​的原根$g$​，不难暴力得到$g=13$成立）

时间复杂度为$o(n^{2}\log L+n^{3})$​​（前者为快速幂）​，可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 505
#define mod 1000000009
#define ll long long
int t,m,n,g,invg,ans,A[N][N],X[N][N],V[N][N],Y[N][N];
ll L;
int qpow(int n,ll m){
    int s=n,ans=1;
    while (m){
        if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod;
        s=(ll)s*s%mod;
        m>>=1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d%lld%d",&m,&L,&n);
        g=qpow(13,(mod-1)/n);
        invg=qpow(g,mod-2);
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                A[i][j]=0;
                X[i][j]=Y[i][j]=qpow(invg,i*j);
                V[i][j]=(ll)qpow(n*n,mod-2)*qpow((qpow(g,i)+qpow(g,j)+m-2)%mod,L)%mod;
            }
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++)
                for(int k=0;k<n;k++)A[i][j]=(A[i][j]+(ll)X[i][k]*V[k][j])%mod;
        for(int i=0;i<n;i++)
            for(int j=0;j<n;j++){
                ans=0;
                for(int k=0;k<n;k++)ans=(ans+(ll)A[i][k]*Y[k][j])%mod;
                printf("%d",ans);
                if (j!=n-1)printf(" ");
                else printf("\n");
            }
    }
    return 0;
}