[hdu7013]String Mod
枚举$a$和$b$出现的次数,问题即求
$$
A_{i,j}=\sum_{p=0}^{L}\sum_{q=0}^{L-p}[n\mid (p-i)][n\mid (q-j)]{L\choose p}{L-p\choose q}(k-2)^{L-(p+q)}
$$
考虑单位根反演,即$[n\mid i]=\frac{\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{ik}}{n}$(其中$\omega=g^{\frac{P-1}{n}}$,$g$为$P$的原根),代入后也即
$$
\sum_{p=0}^{L}\sum_{q=0}^{L-p}\frac{\sum_{x=0}^{n-1}\omega^{(p-i)x}}{n}\frac{\sum_{y=0}^{n-1}\omega^{(q-j)y}}{n}{L\choose p}{L-p\choose q}(k-2)^{L-(p+q)}
$$
将其整理并调换枚举顺序,即
$$
\frac{1}{n^{2}}\sum_{x=0}^{n-1}\sum_{y=0}^{n-1}\frac{1}{\omega^{ix}}\frac{1}{\omega^{jy}}\sum_{p=0}{L\choose p}(\omega^{x})^{p}\sum_{q=0}^{L-p}{L-p\choose q}(k-2)^{(L-p)-q}
$$
根据二项式定理,即
$$
\frac{1}{n^{2}}\sum_{x=0}^{n-1}\sum_{y=0}^{n-1}\frac{1}{\omega^{ix}}\frac{1}{\omega^{jy}}(\omega^{x}+{\omega^{y}}+k-2)^{L}
$$
类似于生成函数,考虑构造矩阵,即
$$
\begin{cases}X_{i,j}=Y_{i,j}=\frac{1}{\omega^{ij}}\\V_{i,j}=\frac{1}{n^{2}}(\omega^{i}+\omega^{j}+k-2)^{L}\end{cases}
$$
($i$和$j$的范围都是$[0,n)$,即矩阵大小为$n\times n$)
根据式子不难得到$A=XVY$,矩阵乘法计算即可
(另外关于$P$的原根$g$,不难暴力得到$g=13$成立)
时间复杂度为$o(n^{2}\log L+n^{3})$(前者为快速幂),可以通过
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 505 4 #define mod 1000000009 5 #define ll long long 6 int t,m,n,g,invg,ans,A[N][N],X[N][N],V[N][N],Y[N][N]; 7 ll L; 8 int qpow(int n,ll m){ 9 int s=n,ans=1; 10 while (m){ 11 if (m&1)ans=(ll)ans*s%mod; 12 s=(ll)s*s%mod; 13 m>>=1; 14 } 15 return ans; 16 } 17 int main(){ 18 scanf("%d",&t); 19 while (t--){ 20 scanf("%d%lld%d",&m,&L,&n); 21 g=qpow(13,(mod-1)/n); 22 invg=qpow(g,mod-2); 23 for(int i=0;i<n;i++) 24 for(int j=0;j<n;j++){ 25 A[i][j]=0; 26 X[i][j]=Y[i][j]=qpow(invg,i*j); 27 V[i][j]=(ll)qpow(n*n,mod-2)*qpow((qpow(g,i)+qpow(g,j)+m-2)%mod,L)%mod; 28 } 29 for(int i=0;i<n;i++) 30 for(int j=0;j<n;j++) 31 for(int k=0;k<n;k++)A[i][j]=(A[i][j]+(ll)X[i][k]*V[k][j])%mod; 32 for(int i=0;i<n;i++) 33 for(int j=0;j<n;j++){ 34 ans=0; 35 for(int k=0;k<n;k++)ans=(ans+(ll)A[i][k]*Y[k][j])%mod; 36 printf("%d",ans); 37 if (j!=n-1)printf(" "); 38 else printf("\n"); 39 } 40 } 41 return 0; 42 }