[luogu5540]最小乘积生成树
假设给定的图为$G=(V,E)$（边用四元组$(x,y,a,b)$来描述），对于其一棵生成树$T=(V,E_{T})$，根据定义代价即为$\sum_{(x,y,a,b)\in E_{T}}a\sum_{(x,y,a,b)\in E_{T}}b$
考虑构造一个二维平面，生成树$T$对应于平面上的一个点$(\sum_{(x,y,a,b)\in E_{T}}a,\sum_{(x,y,a,b)\in E_{T}}b)$，令这些点构成集合$S$，我们即求$\min_{(x,y)\in S}xy$
对$S$求左下凸壳，构成集合$S'$（删去$S'$中不必要的点，即不允许三点共线）
结论：$\min_{(x,y)\in S}xy=\min_{(x,y)\in S'}xy$
考虑$(x,y)\in S$，选择$S'$中$x$坐标小于等于$x$且最大的点$(x_{1},y_{1})$和大于等于$x$且最小的点$(x_{2},y_{2})$，将两点连线后经过点$(x,y')$，根据凸壳的性质有$y\ge y'$，即$xy\ge xy'$
下面，考虑来证明$xy'\ge \min(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2})$即可
由于$(x,y')$在两点连线上，有$y'=y_{1}+\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}(x-x_{1})$，代入即$xy'=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x^{2}+(y_{1}-\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{1})x$
注意到$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}<0$，又因为$x_{1}\le x\le x_{2}$，显然其最小值在$x=x_{1}$或$x=x_{2}$时取到，代入可得$y$恰为$y_{1}$和$y_{2}$，即其最小值为$\min(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2})$，得证
下面来求这个凸壳$S'$，考虑递归来求，具体即——
假设已经求出$(x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})\in S'$（不妨假设$x_{1}<x_{2}$），找到任意一点$(x_{3},y_{3})$满足$x_{1}<x_{3}<x_{2}$且$(x_{3},y_{3})\in S'$，并分别递归$(x_{1},y_{1})$和$(x_{3},y_{3})$、$(x_{3},y_{3})$和$(x_{2},y_{2})$即可
简单贪心即可求出凸壳上$x$坐标最小和最大（$y$坐标最小）的两点，以此为基础进行递归
下面考虑如何求$(x_{3},y_{3})$，构造$(x_{3},y_{3})$是$S$中到$(x_{1},y_{1})$和$(x_{2},y_{2})$连线上距离最远的点（这里的距离是有方向的，在其连线下方为正、上方为负），距离相同时取$x_{3}$最小
特别的，当此距离小于等于0，即不存在满足条件的$(x_{3},y_{3})$，结束即可
关于这一做法的正确性证明，只需要说明以下两点：
1.若该点到$(x_{1},y_{1})$和$(x_{2},y_{2})$连线上距离小于等于0，不存在满足条件的$(x_{3},y_{3})$
2.若该点到$(x_{1},y_{1})$和$(x_{2},y_{2})$连线上距离大于0，其满足$x_{1}<x_{3}<x_{2}$且$(x_{3},y_{3})\in S'$
根据凸壳的性质，都是可以说明的
同时，最大化此距离也即最小化过$(x_{3},y_{3})$作斜率为$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$的直线的截距，也即$y_{3}+\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}x_{3}$
联系最开始的定义，以$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}a+b$为边权求最小生成树即可（在$\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}a+b$相同时由于希望$x_{3}$尽量小，按$a$从小到大排序），（求最小生成树）复杂度为$o(n^{2}+m)$
由此，我们就得到了一个$o(|S'|(n^{2}+m)$的做法，来考虑$|S'|$
注意到$S$中的点都是整点，且范围在$[0,nV]$中（其中$V$为$a$和$b$的范围，记$N=nV$）
假设其有$k$段直线，第$i$条直线斜率为$-\frac{p_{i}}{q_{i}}$（其中$p_{i},q_{i}\ge 1$且$(p_{i},q_{i})=1$），即有$\forall 1\le i<k,\frac{p_{i}}{q_{i}}>\frac{p_{i+1}}{q_{i+1}}$（凸性），且需要能在$[0,N]$中放得下，即$\sum_{i=1}^{k}p_{i},\sum_{i=1}^{k}q_{i}\le N$
对于其中$\max(p_{i},q_{i})\le N^{\frac{1}{3}}$的位置，由于不会重复，至多有$o(N^{\frac{2}{3}})$个数
对于其中$\max(p_{i},q_{i})>N^{\frac{1}{3}}$的位置，根据和不超过$N$的条件，也至多有$o(N^{\frac{2}{3}})$个位置
综上，我们就说明了$|S'|=k+1\sim o(N^{\frac{2}{3}})$，总复杂度即$o(n^{\frac{8}{3}}V^{\frac{2}{3}}+n^{\frac{2}{3}}V^{\frac{2}{3}}m)$
另外顺带一提，在数据随机时，对于$n$个点的凸包期望点数为$o(\log n)$，由于至多只有$o(n^{n-2})$棵生成树（点），因此$|S'|$的期望是$o(n\log n)$的，总复杂度为$o(n^{3}\log n)$（虽然会被卡，其实比较困难）
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 205 4 #define pii pair<int,int> 5 #define fi first 6 #define se second 7 vector<pii >v[N][N]; 8 pii ans,d[N]; 9 int n,m,x,y,a,b,vis[N]; 10 double tmp; 11 bool cmp(pii x,pii y){ 12 return tmp*x.fi+x.se<tmp*y.fi+y.se; 13 } 14 void get_min(pii k){ 15 if (1LL*k.fi*k.se<1LL*ans.fi*ans.se)ans=k; 16 if ((1LL*k.fi*k.se==1LL*ans.fi*ans.se)&&(k.fi<ans.fi))ans=k; 17 } 18 pii calc(double k){ 19 tmp=k; 20 pii ans=make_pair(0,0); 21 memset(vis,0,sizeof(vis)); 22 d[1]=make_pair(0,0); 23 for(int i=2;i<=n;i++)d[i]=make_pair(0x3f3f3f3f,0x3f3f3f3f); 24 for(int i=1;i<=n;i++){ 25 int k=-1; 26 for(int j=1;j<=n;j++) 27 if ((!vis[j])&&((k<0)||(cmp(d[j],d[k]))))k=j; 28 vis[k]=1; 29 ans.fi+=d[k].fi,ans.se+=d[k].se; 30 for(int j=1;j<=n;j++) 31 for(int t=0;t<v[k][j].size();t++) 32 if (cmp(v[k][j][t],d[j]))d[j]=v[k][j][t]; 33 } 34 get_min(ans); 35 return ans; 36 } 37 void dfs(pii x,pii y){ 38 if (x.fi==y.fi)return; 39 pii o=calc(1.0*(y.se-x.se)/(x.fi-y.fi)); 40 if (!cmp(o,x))return; 41 dfs(x,o),dfs(o,y); 42 } 43 int main(){ 44 scanf("%d%d",&n,&m); 45 for(int i=1;i<=m;i++){ 46 scanf("%d%d%d%d",&x,&y,&a,&b); 47 x++,y++; 48 v[x][y].push_back(make_pair(a,b)); 49 v[y][x].push_back(make_pair(a,b)); 50 } 51 ans.fi=ans.se=1e5; 52 dfs(calc(1e5),calc(0)); 53 printf("%d %d",ans.fi,ans.se); 54 }
