[luogu4718]Pollard-Rho算法

模板题

题解主要分为两部分，即Miller-Robin判素数以及关于Pollard-Rho算法

1.Miller-Robin判素数

对于一个数$n$，判定其是否为素数，依次执行以下几步——

(1)若$n=2$在$n$为素数，否则若$n=1$或$n\equiv 0(mod\ 2)$则$n$非素数

(2)对于一个素数$p$，分类讨论

若$(p,n)\ne 1$（$=p$），显然根据$p$是否等于$n$可以直接确定$n$是否为素数

若$(p,n)=1$，根据费马小定理要求$p^{n-1}\equiv 1(mod\ n)$

同时若$n$为素数，$x^{2}\equiv 1(mod\ n)$的解仅有$x\equiv 1或n-1(mod\ n)$（将其分解即可）

假设$n-1=2^{k}m$，则$\forall 1\le i\le k$且$p^{2^{i}m}\equiv 1(mod\ n)$，满足$p^{2^{i-1}m}\equiv 1或n-1(mod\ n)$

(3)重复第2个步骤若干次（当然可以预先选好素数）

2.Pollard-Rho算法

基本思路

考虑对$n$进行质因数分解，先使用Miller-Robin在$o(\log n)$的时间内判定$n$是否是素数，若$n$为素数即结束，否则需要快速找到一个$1\le x<n$且$\gcd(n,x)>1$，之后递归分解$\gcd(x,n)$和$\frac{n}{\gcd(n,x)}$即可

构造方式

关于如何找到$x$，我们考虑如下的方式：

构造一个序列$a_{i}$，其中$a_{i}=a_{i-1}^{2}+c(i\ge 2)$，$a_{1}$和$c$均为随机

（关于这个递推式并没有太大的实际意义，只是$a_{i}$由$a_{i-1}$唯一确定且分布较为随机）

从小到大枚举$i\ge 1$，并令$x\equiv a_{i}-a_{2i}(mod\ n)$（要求$0\le x<n$），若$x=0$则重新随机$a_{1}$和$c$并再次执行，否则判定$x$是否满足条件（$\gcd(n,x)>1$），若满足条件即可递归

复杂度分析

下面，我们来考虑找到$x$的期望$i$大小或无法找到的概率——

先考虑另外一个问题，对于一个$n$，第一次出现$a_{i}\equiv a_{2i}(mod\ n)$的位置

令$x$为最小的整数，满足$\exists 1\le y<x$且$a_{x}\equiv a_{y}(mod\ n)$，显然$y$是唯一的，再取这个唯一的$y$

考虑序列$\{a_{i}\ mod\ n\}$，根据$a_{i}$由$a_{i-1}$唯一确定（在模意义下显然也满足），$x$和$y$实际上分别是第2次和第1次进入循环的位置，更具体的有$\forall i\ge y,a_{i}\equiv a_{i+(x-y)}(mod\ n)$

在$[y,x)$中取$k\equiv 0(mod\ x-y)$（显然唯一），根据循环的性质不难得到$a_{k}\equiv a_{2k}(mod\ n)$，且由于$x$和$y$最小的性质，还可以证明$k$也是最小的，即$k$就是这个位置

再考虑$k$的期望，由于$k<x$也可以看作$x$的期望，由于序列$a_{i}$分布可以认为是随机的，根据$x$的定义可以发现$x$的期望即在$[0,n)$范围内随机若干次出现重复数字的期望次数

根据生日悖论，其期望是$o(\sqrt{n})$的，具体推导如下——

考虑$P(x\le X)$（即$x\le X$的概率），等价于$X$个数中存在相同，不难得到$P(X)=1-\prod_{i=0}^{X-1}(1-\frac{i}{n})$

根据均值不等式，有$\sqrt[X]{\prod_{i=0}^{X-1}(1-\frac{i}{n})}\le {\frac{1}{X}\sum_{i=0}^{X-1}(1-\frac{i}{n})}=\frac{2n-X+1}{n}$

代入后，即$P(X)\ge 1-(\frac{2n-X+1}{2n})^{X}=1-(1-\frac{X}{2n})^{X}$

由于$\frac{1}{1-x}=\sum_{i=0}^{\infty}x^{i}$，而根据泰勒展开有$e^{x}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i!}x^{i}<\frac{1}{1-x}$，即$1-x<e^{-x}$

将之代入，即$P(X)\ge 1-e^{-\frac{X^{2}}{2n}}\ge \frac{1}{2}$，即$e^{-\frac{X^{2}}{2n}}\le \frac{1}{2}$，$X\ge \sqrt{-2n\ln\frac{1}{2}}\sim o(\sqrt{n})$

（真的求期望$E(x)$也就要对$\sum_{i=0}^{n-1}(e^{-\frac{1}{2n}})^{i^{2}}$求值，可能比较困难）

考虑完这个问题后，回归原问题，令$p$为$n$的最小素因子（显然$p\le \sqrt{n}$），那么$gcd(n,x)>1$的充分条件是$p|x$，而$p|x$（且$x\ne 0$）这个条件还可以被表述为：$a_{i}\not\equiv a_{2i}(mod\ n)$且$a_{i}\equiv a_{2i}(mod\ p)$

根据前面的结论，$a_{i}\equiv a_{2i}(mod\ p)$的期望位置是$o(\sqrt{p})$的

但还有一个问题，即有可能同时还满足$a_{i}\equiv a_{2i}(mod\ n)$，此时$x=0$，即无法找到

但由于前者期望位置是$o(\sqrt{n})$的，后者是$o(\sqrt{p})$的，两者并不同阶，因此这个概率并不大，可以认为在$o(1)$次内一定可以找到（这里应该是极其口胡的，但并不知道如何更严谨的说明QAQ）

每一次查找（包括失败）复杂度都是期望$o(\sqrt{p})$，查找次数又是$o(1)$，再算上$\gcd$的复杂度，因此单次分解复杂度即为$o(\sqrt{p}\log n)$

虽然至多有$o(\log n)$次递归，而$p$又是$o(\sqrt{n})$的，总复杂度即$o(n^{\frac{1}{4}}\log^{2}n)$，但事实上这个复杂度还可以进一步的精确——

（以下过程通俗的来说，即若递归次数过多则$p$一定很小，当$p$是$o(\sqrt{n})$这个级别时递归次数是$o(1)$的，因此复杂度是$o(n^{\frac{1}{4}}\log n)$的）

考虑递归后分别是$d$和$\frac{n}{d}$，其中较小的不超过$\sqrt{n}$，其复杂度根据前面是$o(n^{\frac{1}{8}}\log^{2}n)$，可以忽略，换言之递归时我们仅关心于大于$\sqrt{n}$的部分的复杂度

不妨假设$d>\sqrt{n}$，那么$n$的最小素因子不超过$\frac{n}{d}$，即$T(n)=\max_{d|n}T(d)+\sqrt{\frac{n}{d}}\log n$

对于其中$\frac{n}{d}\le n^{\frac{1}{4}}$（前面的$n$指该次递归，后者的$n$指全局），即使有$\log$次复杂度也仅为$o(n^{\frac{1}{8}}\log^{2}n)$，同样可以忽略，而若$\frac{n}{d}>n^{\frac{1}{4}}$，那么即至多4次，总复杂度为$o(n^{\frac{1}{4}}\log n)$

综上，即说明了复杂度为$o(n^{\frac{1}{4}}\log n)$

关于gcd的优化

可以将若干次gcd组合在一起计算，即若求$\gcd(x,n)$和$\gcd(y,n)$，不妨直接求$\gcd(xy\ mod\ n,n)$

但这样就不能每一次都判定，可以考虑隔一段时间判定一次，关于这个间隔比较随意，只需在$[\log n,n^{\frac{1}{4}}]$中，即可令复杂度降为$o(n^{\frac{1}{4}})$，另外在$x=0$时还需要将之前的再求一次

（另外可能会涉及模$n$意义下两数乘法，需要使用int128或其他技巧）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int t,p[5]={3,5,7,11,13};
ll n;
ll mul(ll x,ll y,ll n){
    return (__int128)x*y%n;
}
ll gcd(ll x,ll y){
    if (!y)return x;
    return gcd(y,x%y);
}
ll pow(ll n,ll m,ll mod){
    ll s=n,ans=1;
    while (m){
        if (m&1)ans=mul(ans,s,mod);
        s=mul(s,s,mod);
        m>>=1;
    }
    return ans;
}
bool check(ll n){
    if (n==2)return 1;
    if (n%2==0)return 0;
    ll m=n-1,k=0;
    while (m%2==0){
        k++;
        m/=2;
    }
    for(int i=0;i<5;i++){
        if (n%p[i]==0)return n==p[i];
        ll s=pow(p[i],m,n);
        for(int j=0;j<k;j++){
            if ((mul(s,s,n)==1)&&(s!=1)&&(s!=n-1))return 0;
            s=mul(s,s,n);
        }
        if (s>1)return 0;
    }
    return 1;
}
ll get_fac(ll n){
    ll x=rand()%n,c=rand()%n,y=(mul(x,x,n)+c)%n,z=1,tot=0;
    while (1){
        if ((x==y)||(tot%100==0)){
            if (gcd(z,n)>1)return gcd(z,n);
            if (x==y)return 1;
            z=1;
        }
        tot++;
        z=mul(z,(x+n-y)%n,n);
        if (!z)return gcd((x+n-y)%n,n);
        x=(mul(x,x,n)+c)%n;
        y=(mul(y,y,n)+c)%n;
        y=(mul(y,y,n)+c)%n;
    }
}
ll calc(ll n){
    if (check(n))return n;
    while (1){
        ll p=get_fac(n);
        if (p>1)return max(calc(p),calc(n/p));
    }
}
int main(){
    srand(time(0));
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%lld",&n);
        ll ans=calc(n);
        if (ans==n)printf("Prime\n");
        else printf("%lld\n",ans);
    }
}