平衡树与finger search

1.复杂度分析

Treap

定理1：$n$个节点的Treap的期望深度为$o(\log n)$

证明1：假设所有元素从小到大依次为$a_{1},a_{2},...,a_{n}$（不妨假设所有元素各不相同，若有相同可以将这些元素存在同一个位置上），则对于$x$和$y$，分类讨论：

1.若$x\le y$，则$x$是$y$的祖先等价于$a_{x}<\min_{x<j\le y}a_{j}$

2.若$x>y$，则$x$是$y$的祖先等价于$a_{x}<\min_{y\le j<x}a_{j}$

（这里要求随机权值构成小根堆，且不妨假设随机权值各不相同）

这件事的概率也就是$x$权值最小的概率，即$\frac{1}{|x-y|+1}$

$x$的深度也可以定义为$x$的祖先数，而其期望祖先数即为$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{|x-i|+1}\sim o(\log n)$

这是论文中给出的证明，但其实并不太严谨，这里再给出一种证明方式——

证明2：令$T(n)$为$n$个节点的Treap的期望深度，考虑枚举其中随机权值最小的点（作为根），即
$$
T(n)=n+\frac{\sum_{i=1}^{n}T(i-1)+T(n-i)}{n}=n+\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}T(i)
$$
类似地，将$n-1$的式子写出后两式相减，即
$$
T(n)-T(n-1)=1+\frac{2}{n}\sum_{i=0}^{n-1}T(i)-\frac{2}{n-1}\sum_{i=0}^{n-2}T(i)\le 1+\frac{2}{n}T(n-1)
$$
简单化简后，即
$$
\frac{T(n)}{n+1}\le \frac{1}{n+1}+\frac{T(n-1)}{n}\le \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n}+\frac{T(n-2)}{n-1}\le ...\le \sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i}\sim o(\log n)
$$
于是，即$T(n)\sim o(n\log n)$，即所求证

Splay

定理2：对一个$V$个节点的伸展树执行$n$次Splay操作的复杂度为$o((V+n)\log V)$

证明：对于一棵伸展树$T$，定义节点$x$的势能函数为$r(x)=\log sz_{x}$（其中$sz_{x}$为其子树大小），则$T$的势能函数为$\varphi(T)=\sum_{x}r(x)$（其中$x$为$T$中的节点）

假设第$i$次操作后的Splay为$T_{i}$（特别的，$T_{0}$为初始的伸展树），第$i$次操作复杂度（旋转次数）为$a_{i}$，则第$i$次操作的均摊复杂度记为$b_{i}=a_{i}+R(T_{i})-R(T_{i-1})$，后者记为$\Delta_{\varphi}(i)$

综上，总复杂度即
$$
\sum_{i=1}^{n}a_{i}=\sum_{i=1}^{n}b_{i}+R(T_{0})-R(T_{n})\le \sum_{i=1}^{n}b_{i}+V\log V
$$
下面，我们只需要考虑$b_{i}$即可，对Splay中的三类情况分开讨论：

（为了方便，假设执行$Splay(k)$，且$fa$为$k$的父亲，$ga$为$k$的祖父，带$'$为旋转后的$T_{i}$）

1.单旋，其使得$b_{i}$增加$1+r'(fa)-r(k)\sim o(\log V)$

2.三点一线时，先旋转$fa$，再旋转$k$，其使得$b_{i}$增加
$$
1+r'(fa)+r'(ga)-r(k)-r(fa)\le 1+r'(k)+r'(ga)-2r(k)
$$
根据$sz'_{k}=sz_{k}+sz'_{ga}+1$，有$2r'(k)-r(k)-r'(ga)\ge \log \frac{(sz_{k}+{sz'_{ga}})^{2}}{sz_{k}sz'_{ga}}\ge 2$

将$2r'(k)-r(k)-r'(ga)-2\ge 0$加入上式，即有
$$
1+r'(k)+r'(ga)-2r(k)+2r'(k)-r(k)-r'(ga)-2\le 3(r'(k)-r(k))
$$
3.三点不一线时，旋转两次$k$，类似地也可以证明其使得$b_{i}$增加不超过$3(r'(k)-r(k))$

注意到$r'(k)$可以与下一次的$r(k)$相消，因此第2类和第3类总增加量不超过$3(r'(k)-r(k))\sim o(\log V)$

综上，即对于初始为0的$b_{i}$，增加总量也不超过$o(\log V)$，即$b_{i}\sim o(\log V)$

将之代入，不难得到复杂度为$o((V+n)\log V)$，即所求证

 

 

 

 

 

2.Treap的可持久化和树套树

可持久化

所有非均摊的数据结构基本都是可以可持久化的

论文中提到了关于Treap中可持久化不能直接复制随机值，而是在比较时进行随机判定是否旋转，并且旋转$k$的概率为$\frac{sz_{k}}{sz_{fa}}$（$fa$为$k$的父亲）

（我觉得或许直接复制随机值应该也是对的吧）

树套树

事实上，旋转的Treap也是可以实现树套树的

定理3：若一次旋转$k$的复杂度为$o(sz_{k})$，则Treap单次插入操作期望复杂度为$o(\log n)$

证明：假设插入$k$，当$k$旋转后$k$必然是其子树中权值最小的点，这样的概率是$\frac{1}{sz_{k}}$，那么这次旋转的期望复杂度即为$o(1)$，也可以看作这个节点对答案的期望贡献为$o(1)$

又因为前面说明树高为期望$o(\log n)$，而只有$k$到根路径上的点对答案会有期望$o(1)$的贡献，总复杂度即期望$o(\log n)$，结论成立

定理4：若一次重构$k$子树时间复杂度$o(sz_{k}\log sz_{k})$，则Treap单次删除期望复杂度为$o(\log n)$

证明：由于Treap是随机的，删除节点的子树大小可以看作一个节点的期望子树大小

由于树高$o(\log n)$，因此所有节点子树大小之和为$o(n\log n)$，显然期望子树大小为$o(\log n)$，将其子树暴力重构即可，对于$o(\log\log n)$的复杂度可以忽略，即复杂度为期望$o(\log n)$

上面所给的旋转以及重构的复杂度，也就是平衡树套序列的复杂度（每一个节点维护子树内所有元素所构成的序列），也就可以做到$o(n\log n)$

而对于平衡树套权值线段树，此时插入和删除相较于上面两者也就多了一个$\log n$，复杂度即$o(n\log^{2}n)$，与替罪羊树相同，也是可以接受的

（树套树中的线段树不能互相嵌套，因此重构不能使用线段树合并，仍是$o(sz_{k}\log sz_{k}\log n)$的）

 

 

 

 

 

3.Finger Search

Finger Search

关于Finger Search，即在一个数据结构中，令$d(x,y)$为在$x$和$y$之间的元素个数（包括$x$和$y$），当已经确定$x$的位置后，可以在$o(\log d(x,y))$的时间内快速查询$y$的操作

（另外下面还将考虑Finger Search的简单拓展，即快速插入和删除）

显然并不是所有数据结构都能支持Finger Search，下面分别来考虑Treap和Splay

Treap

定理5：在Treap上，$x$到$y$的路径长度为期望$o(\log d(x,y))$

证明：注意到$x$到$y$的路径长度即是$x$祖先且不是$y$祖先的节点数+是$y$祖先且不是$x$祖先的节点数，根据对称性可以仅考虑前者

假设Treap所有元素从小到大依次为$a_{1},a_{2},...,a_{n}$，其中$a_{i}=x$且$a_{j}=y$，显然$d(x,y)=j-i+1$

考虑一个节点$a_{k}$，求出其满足“是$x$祖先且不是$y$祖先”的概率，将其累加即可

根据前面定理1的证明，我们需要对$k$分类讨论：

1.$1\le k\le i$，这等价于$k$是$[k,i]$的最小值且$[k,i]$的最小值大于$(i,j]$的最小值，前者概率为$\frac{1}{i-k+1}$，后者概率为$\frac{j-i}{j-k+1}$，相乘后即$\frac{j-i}{(i-k+1)(j-k+1)}$

注意到这就是$\frac{1}{i-k+1}-\frac{1}{j-k+1}$，累加后即
$$
\sum_{k=1}^{i}\frac{1}{k}-\sum_{k=j-i+1}^{j}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{i}\frac{1}{k}-(\sum_{k=1}^{j}\frac{1}{k}-\sum_{k=1}^{j-i}\frac{1}{k})\le \sum_{k=1}^{j-i}\frac{1}{k}\sim o(\log d(i,j))
$$
2.$i<k<j$，类似地概率为$\frac{j-k}{(k-i+1)(j-i+1)}=\frac{1}{k-i+1}-\frac{1}{j-i+1}$，累加后即$\sum_{k=1}^{j-i+1}\frac{1}{k}-1\sim o(\log d(i,j))$

由此，在Treap上再维护一个子树最小值和最大值，暴力从$x$向父亲爬去找$y$即可实现Finger Search

下面来考虑Finger Search的拓展，对于插入：根据定理3，可以发现Treap插入的瓶颈事实上就在于寻找位置，更具体的，我们有以下定理——

定理6：Treap单次插入操作期望旋转次数为$o(1)$

证明：根据定理3的证明，一个点期望旋转次数，即其到根所有节点子树大小倒数之和

而所有点期望旋转次数之和，考虑一个点的贡献，不难发现恰好为1，即总和期望为$o(n)$，那么其中一点期望次数为$o(1)$，即所求证

那么找到位置后，再以$o(1)$次旋转即可，即实现了Finger Search的插入

对于删除：Treap的删除需要将该节点旋转到子树叶子，根据定理4这一部分也就是$o(\log\log n)$，也可以忽略，那么同样也可以支持删除

综上，Treap需要通过一些技巧来支持Finger Search即其拓展

Splay

在Splay中，由于每一次会将上次所插入、删除或查询的Splay到根，实际上也就是实现了Finger Search，更具体的来说，可以有以下结论——

定理7（Dynamic Finger Theorem）：对于一个$n$个点的Splay，进行$m$次操作，每一次操作的元素为$a_{i}$（特别的，$a_{0}$定义为初始Splay中的根），则复杂度为$o(n+m+\sum_{i=1}^{m}\log d(a_{i-1},a_{i}))$

这个定理的证明比较复杂，这里就省略了

根据这个结论，也就说明Splay可以不需要附加其他操作来支持Finger Search即其拓展

 

 

 

 

 

4.Treap的快速合并和分裂

合并

考虑合并两颗Treap，分别为$T_{1}$和$T_{2}$（假设大小分别为$n$和$m$，且$T_{1}$中的权值严格小于$T_{2}$），普通的合并也就是FHQ Treap，合并复杂度为$o(\log n+\log m)$

事实上，Treap的合并还可以进一步优化，达到$o(\log \min(n,m))$的复杂度

具体来说（不妨假设$n>m$），在合并的递归过程中，一开始会又连续较多次都是以$T_{1}$的根为根并将右儿子与$T_{2}$合并，这些过程完全可以将最后一次与$T_{2}$合并

更具体的，考虑从$T_{1}$中的最大值开始（也就是从根不断向右儿子移动），不断向父亲移动，直至父亲的随机权值小于$T_{2}$根节点的随机权值时停止，并将当前节点与$T_{2}$合并并作为父亲的右儿子

（这里的合并就是普通的合并，即做到$o(\log n+\log m)$的复杂度）

$m$显然是不变的，现在来考虑$\log n$，也可以看作最大值移动的次数

最终这个位置将会被$T_{2}$的根替代，而这条链并不会被压缩，也就是说最终合并后$T_{2}$的根到$T_{1}$中最大值的路径长度严格大于移动的次数，根据定理5可以得到是期望$o(\log m)$的

$n<m$类似，也就是会有较多次将$T_{1}$与$T_{2}$的左儿子合并，同样可以证明复杂度为期望$o(\log n)$

（当然，具体实现中可以更方便的直接自底向上进行合并，这里只是为了说明其实际意义）

分裂

对于一个大小为$n+m$的Treap（记作$T$），普通的分裂也是FHQ Treap，分裂复杂度为$o(\log (n+m))$

Treap的分裂也可以优化，假设拆出两颗大小为$n$和$m$的子树（分别为$T_{1}$和$T_{2}$，且$T_{1}$中的权值严格小于$T_{2}$），则分裂也可以优化到$o(\log \min(n,m))$的复杂度

类似合并，在分裂的过程中，会有很长时间都在向同一边拆分

更具体的，分裂有两种，先来考虑给出排名（也就是$n$和$m$）的方式：

不妨假设$n>m$，从最大值出发去找到值所在的位置，根据定理5可以在$o(\log m)$的时间内找到对应权值以及位置，同时还可以求出最大值与该权值的lca

在这个lca之前，显然都会被分到$T_{1}$，因此可以直接在这个lca内部进行划分

此时递归的深度即与最后$T_{2}$的深度相同，为期望$o(\log m)$

$n<m$也是类似的，从最小值去找该值即可

但如果分裂给出的是权值，由于无法确定$n$和$m$的关系，仅是查找该节点就会退化为$o(\log (n+m))$

这时候还有一个方法，从最小值和最大值同时去找这个权值，且双方每一次各移动一步，那么找到时所花的步数也就是期望$o(\log \min(n,m))$，也就与其相同

启发式合并

启发式合并就不能保证权值有严格的关系，因此对于这样两颗大小为$n$和$m$的Treap（不妨假设$n>m$），通常都是以$o(m\log n)$的复杂度来完成合并的

总得来说，将$n$个大小为1的Treap以此法启发式合并的复杂度为$o(n\log^{2}n)$

但是，我们可以将较小的Treap中的权值从小到大插入，此时借助Finger Search的插入拓展，似乎可以优化复杂度，具体来说有以下定理——

定理8：以上述方式启发式合并$n$个大小为1的Treap，复杂度为$o(n\log n)$

证明：先来考虑以此法合并大小为$n$和$m$（$n>m$）的Treap的复杂度，也就可以看作求将$n$划分为若干个数，每一个数的$\log$之和

根据$\log$函数的凸性，不难调整证明均匀划分时复杂度最低，即单次插入复杂度为$o(\log \frac{n}{m})$

接下来，考虑每一个数的贡献：

假设其执行插入操作$k$次，第$i$次插入到的子树大小（指合并结束后）依次为$a_{i}$（特别的，$a_{0}=1$），由于$a_{i-1}$恰好是上一次的$m$，因此其贡献即$\sum_{i=1}^{k}\log\frac{a_{i}}{a_{i-1}}=\log a_{k}\sim o(\log n)$

所有节点贡献之和即为$o(n\log n)$，也就是复杂度

关于Splay

在上述操作中，Splay也可以支持部分操作：

1.快速合并，将较小的Splay的最小或最大值Splay到根，虽然这样合并看上去会增加$\log \max(n,m)$的势能，但如果我们修改势能的定义，将其定义为所有非根节点势能和，还是可以做到均摊$o(\log \min(n,m))$的复杂度

2.启发式合并，根据定理7可以证明其与Treap以此法启发式合并的复杂度相同，即也可以做到$o(n\log n)$

3.对于分裂操作，需要将该节点Splay到根是$o(\log (n+m))$的，似乎无法支持