[cf1270I]Xor on Figures
考虑一个构造:令初始$2^{k}\times 2^{k}$的矩阵为$A$(下标从0开始),再构造一个矩阵$T$,满足仅有$T_{x_{i},y_{i}}=1$(其余位置都为0),定义矩阵卷积$\otimes$即
$$
(A\otimes B)_{x,y}=\bigoplus_{x_{1}+x_{2}\equiv x(mod\ 2^{k}),y_{1}+y_{2}\equiv y(mod\ 2^{k})}A_{x_{1},y_{1}}B_{x_{2},y_{2}}
$$
(不难证明这个卷积运算有交换律和结合律)
令$F$为答案矩阵,即$F_{x,y}$为在$(x,y)$上所选择的$p$(多次选择异或起来即可),根据定义有$F\otimes T=A$
考虑$\otimes$运算的单位矩阵$e$,即满足对于任意矩阵$A$,$A\otimes e=A$,不难发现$e_{x,y}=[x=0][y=0]$即满足此条件,以下即以此为单位矩阵
通过单位矩阵,我们就可以对矩阵$T$求逆了,若其求逆结果为$T^{-1}$(即满足$T\otimes T^{-1}=e$的矩阵因此),将上式两边同乘$T^{-1}$即有$F=A\otimes T^{-1}$
考虑如何求出$T^{-1}$,似乎并不太好求,那么再考虑一个问题,即$T^{2}$(即$T\otimes T$)是一个怎样的矩阵:
根据定义中的式子,注意到当交换$x_{1}$和$x_{2}$、$y_{1}$和$y_{2}$后,两者所贡献的位置以及权值相同,而$\oplus$具有自反性,因此即最终结果为0
但特别的,当$x_{1}=x_{2}$且$y_{1}=y_{2}$,显然是不能交换的,即
$$
(T^{2})_{x,y}=\bigoplus_{2x'\equiv x(mod\ 2^{k}),2y'\equiv y(mod\ 2^{k})}T_{x',y'}^{2}=\bigoplus_{2x'\equiv x(mod\ 2^{k}),2y'\equiv y(mod\ 2^{k})}T_{x',y'}
$$
(最后一步由于$T$中任意元素都为0或1,因此$T_{x',y'}^{2}=T_{x',y'}$)
上面这个式子通俗的来说,也就是将$T$中的每一个在$(x,y)$的1都移动到$(2x\ mod\ 2^{k},2y\ mod\ 2^{k})$,当一个位置有两个1可以相互抵消
当然我们也可以先不抵消,重复上述过程,则有
$$
(T^{2^{k}})_{x,y}=\bigoplus_{2^{k}x'\equiv x(mod\ 2^{k}),2^{k}y'\equiv y(mod\ 2^{k})}T_{x',y'}=[x=0][y=0]\bigoplus_{x,y}T_{x,y}=[x=0][y=0][t\ mod\ 2]
$$
(显然$T$中1的个数恰好为$t$)
根据$t$是奇数,即$T^{2^{k}}=e$,那么$T\otimes T^{2^{k}-1}=e$,即$T^{-1}=T^{2^{k}-1}$
关于如何计算$A\otimes T^{2^{k}-1}$,如果暴力计算两个矩阵复杂度是$o(2^{4k})$,即使用快速幂优化$T^{2^{k}-1}$的计算,复杂度也是$o(k2^{4k})$,无法通过
但是,注意到$\forall 0\le i\le k,T^{2^{i}}$至多只有$t$个1(即使移动到的位置都不重合,没有抵消)
根据$2^{k}-1=\sum_{i=0}^{k-1}2^{i}$,再根据结合律所求即$A\otimes T^{1}\otimes T^{2}\otimes...\otimes T^{2^{k-1}}$,按照运算顺序从左到右依次乘,每一次复杂度为$o(t2^{2k})$,总复杂度即$o(tk2^{2k})$
(每一个$T^{2^{i}}$怎么求前面应该也已经说明了)
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1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 2005 4 int n,m,ans,x[N],y[N]; 5 long long a[N][N],b[N][N]; 6 void mul(){ 7 memset(b,0,sizeof(b)); 8 for(int i=0;i<(1<<n);i++) 9 for(int j=0;j<(1<<n);j++) 10 for(int k=1;k<=m;k++)b[(x[k]+i)%(1<<n)][(y[k]+j)%(1<<n)]^=a[i][j]; 11 memcpy(a,b,sizeof(a)); 12 } 13 int main(){ 14 scanf("%d",&n); 15 for(int i=0;i<(1<<n);i++) 16 for(int j=0;j<(1<<n);j++)scanf("%lld",&a[i][j]); 17 scanf("%d",&m); 18 for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&x[i],&y[i]); 19 for(int i=0;i<n;i++){ 20 mul(); 21 for(int j=1;j<=m;j++){ 22 x[j]=2*x[j]%(1<<n); 23 y[j]=2*y[j]%(1<<n); 24 } 25 } 26 for(int i=0;i<(1<<n);i++) 27 for(int j=0;j<(1<<n);j++) 28 if (a[i][j])ans++; 29 printf("%d",ans); 30 }