[atARC098F]Donation
贪心，一定在最后一次经过某节点时付出$b_{u}$，条件是付出后$W\ge \max(a_{i}-b_{i},0)$（同时也可以仅考虑这个限制，因为$W$在过程中不会增大）
假设“最后一次经过”的顺序为$p_{1},p_{2},...,p_{n}$，则要保证存在$p_{i}$到$p_{i+1}$的路径不经过$p_{1},...,p_{i-1}$，也即对于任意一个后缀，其点集的导出子图连通
倒序模拟这个过程（因为有连通的限制），二分枚举$d=W-\sum_{i=1}^{n}b_{i}$，那么可以看作从一个点（$p_{n}$）开始拓展，找到相邻的$x$满足$d\ge a_{x}-b_{x}$，则可以拓展$x$（作为$p_{n-1}$），重复此过程直至拓展整张图
由于拓展只会增加$d$，因此可以贪心拓展，用优先队列维护最小的$a_{x}-b_{x}$去拓展一定最优，此时时间复杂度为$o(n^{2}\log^{2}n)$（因为要枚举$p_{n}$，还有优先队列），无法通过
仍然先枚举$p_{n}$，令$v$为$a_{v}-b_{v}$最大的位置，$G'$为删除$v$后$p_{n}$所在的连通块，从上面的过程来看，在这个贪心下，只有拓展完$G'$后才可能拓展$v$，同时当拓展完$v$后整张图一定都可以拓展
因此，合法条件变为两个：1.$G'$能拓展完；2.$G'$拓展完后$d\ge a_{v}-b_{v}$，前者是一个子问题，可以继续找到最大的$v'$来处理，直至最后$|V|=1$（即为起点）
将这个结构构成一棵树（类似点分树，只是将重心换成$a_{v}-b_{v}$最大的位置），根据上面的条件，即要求找到$a_{x}-b_{x}\le d$的位置，满足$s_{x}+d\ge a_{fa}-b_{fa}$（其中$s_{x}$为$x$子树中$b$的和）直至根
如何建出这棵树，可以从小到大枚举$a_{i}-b_{i}$，然后去合并相邻且比他小的位置作为儿子，再用并查集维护即可
由于后者的条件与起点关系不大，可以看作从根出发，找到合法且$a_{x}-b_{x}$最小的位置，判断与$d$的大小即可，此时时间复杂度为$o(n\log n)$
还可以枚举起点的位置来做到$o(n)$，即先忽略$a_{x}-b_{x}\le d$的限制，求出每一个位置上最小的$d$，记为$f_{k}$，转移为$f_{k}=\max(f_{fa},a_{fa}-b_{fa}-s_{k})$，答案为$\min_{1\le i\le n}\max(f_{i},a_{i}-b_{i})$
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 100005 4 #define ll long long 5 struct ji{ 6 int nex,to; 7 }edge[N<<1]; 8 vector<int>v[N]; 9 int E,n,m,x,y,ans,head[N],a[N],id[N],rk[N],fa[N],f[N]; 10 ll s[N]; 11 bool cmp(int x,int y){ 12 return a[x]<a[y]; 13 } 14 void add(int x,int y){ 15 edge[E].nex=head[x]; 16 edge[E].to=y; 17 head[x]=E++; 18 } 19 int find(int k){ 20 if (k==fa[k])return k; 21 return fa[k]=find(fa[k]); 22 } 23 void merge(int x,int y){ 24 x=find(x),y=find(y); 25 if (x!=y){ 26 fa[x]=y; 27 s[y]+=s[x]; 28 v[y].push_back(x); 29 } 30 } 31 void dfs(int k){ 32 ans=min(ans,max(f[k],a[k])); 33 for(int i=0;i<v[k].size();i++){ 34 f[v[k][i]]=f[k]; 35 if (a[k]>s[v[k][i]])f[v[k][i]]=max(f[k],(int)(a[k]-s[v[k][i]])); 36 dfs(v[k][i]); 37 } 38 } 39 int main(){ 40 scanf("%d%d",&n,&m); 41 memset(head,-1,sizeof(head)); 42 for(int i=1;i<=n;i++){ 43 scanf("%d%lld",&a[i],&s[i]); 44 a[i]=max(a[i]-s[i],0LL); 45 id[i]=fa[i]=i; 46 } 47 sort(id+1,id+n+1,cmp); 48 for(int i=1;i<=n;i++)rk[id[i]]=i; 49 for(int i=1;i<=m;i++){ 50 scanf("%d%d",&x,&y); 51 add(x,y); 52 add(y,x); 53 } 54 for(int i=1;i<=n;i++) 55 for(int j=head[id[i]];j!=-1;j=edge[j].nex) 56 if (rk[edge[j].to]<i)merge(edge[j].to,id[i]); 57 ans=a[id[n]]; 58 dfs(id[n]); 59 printf("%lld",ans+s[id[n]]); 60 }
