[atARC102F]Revenge of BBuBBBlesort
定义以$i$为中心(交换$p_{i-1}$和$p_{i+1}$)的操作为操作$i$
结论1:若执行过操作$i$,则之后任意时刻都无法执行操作$i-1$或操作$i+1$
当执行操作$i$后,必然有$p_{i-1}<p_{i}$,然后不妨假设下一次与$i$相邻的操作为$i-1$($i+1$类似)
操作$i-1$的条件为$p_{i-2}>p_{i-1}>p_{i}$,即要增大$p_{i-1}$或减小$p_{i}$,可以执行操作$i-2$或操作$i+1$,后者根据假设不成立
对于操作$i-2$,其执行完后必然有$p_{i-2}<p_{i-1}$,类似的我们又要求执行操作$i-3$来增大$p_{i-2}$……以此类推,当需要执行操作1来增大$p_{2}$即不合法
推论1:执行操作$i$必须有$p_{i}=i$
根据结论1,执行操作$i$后无法再执行操作$i-1$或$i+1$,即无法再修改$p_{i}$,而最终要求$p_{i}=i$
推论2:若初始$p_{i}\ne i$,则一定不会执行操作$i$;若$p_{i}=i$,则一定不会执行操作$i-1$或操作$i+1$
根据推论1,执行操作$i$需要$p_{i}=i$,而修改$p_{i}$必然执行了操作$i-1$或$i+1$,则不能执行操作$i$
根据推论1,执行操作$i-1$($i+1$类似)要求$p_{i-1}=i-1<p_{i}$,不成立
考虑将整个序列划分为独立的若干段,即要求每一段的端点都不能操作,这等价于将其在$i$和$i+1$之间断开则要求$i$和$i+1$都无法操作,不妨将所有这些位置都断开,考虑每一段的形式:
1.那么每一段必然不会出现相邻两数$i$和$i+1$使得$[p_{i}=i]=[p_{i+1}=i+1]$,否则必然可以断开
2.如果端点满足$p_{i}=i$(以下假设为左端点),则$i$无法操作,同时$i+1$也无法操作,可以断开(除非$i+1$不在该段中,即仅一个$p_{i}=i$)
更形象的,记$s_{i}=[p_{i}=i]$(一个01串),那么最终每一段的$s$分为两种:1.仅一个'1';2.以'0'为开头结尾的'01010...10'
对于第1种段直接删去即可,对于第2种继续分析
可以看作对$p_{l},p_{l+2},...,p_{r}$这一段排序,而要交换$p_{i}$和$p_{i+2}$,则要求$p_{i}>i+1>p_{i+2}$
由于$p_{i}\equiv i(mod\ 2)$,因此$p_{i}>i+1$也即$p_{i}>i$,类似的后者也即$i+2>p_{i+2}$
对于初始$p_{i}>i$的位置,其一定只能向后交换,且若交换至$p_{i}=i$,根据推论2,一定不会再改变($p_{i}<i$的位置类似)
其限制且仅限制(若两点都满足交换方向一定可行)了每一个数的交换方向,那么合法即要求:
1.如果是区间$[l,r]$,$\forall l\le i\le r,l\le p_{i}\le r$
2.对于$p_{i}>i$的位置,其之前不存在比其大的数;对于$p_{i}<i$的位置,其之后不存在比其小的数
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1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 300005 4 int n,a[N],p[N]; 5 int main(){ 6 scanf("%d",&n); 7 for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]); 8 for(int i=1;i<=n;i++)p[i]=1; 9 for(int i=1;i<=n;i++) 10 if (a[i]!=i)p[i]=0; 11 else p[i-1]=p[i+1]=0; 12 for(int i=1,j=1;i<=n;i=++j){ 13 for(;j<n;j++) 14 if ((!p[j])&&(!p[j+1]))break; 15 if ((i==j)&&(p[i]==i))continue; 16 for(int k=i;k<=j;k++) 17 if ((a[k]<i)||(j<a[k])){ 18 printf("No"); 19 return 0; 20 } 21 int mx=0,mn=n; 22 for(int k=i;k<=j;k++){ 23 if ((a[k]>k)&&(a[k]<mx)){ 24 printf("No"); 25 return 0; 26 } 27 mx=max(mx,a[k]); 28 } 29 for(int k=j;k>=i;k--){ 30 if ((a[k]<k)&&(a[k]>mn)){ 31 printf("No"); 32 return 0; 33 } 34 mn=min(mn,a[k]); 35 } 36 } 37 printf("Yes"); 38 }