[atARC100F]Colorful Sequences
考虑求任意序列中$a$出现次数之和减去不合法序列中$a$出现次数之和,前者即为$(n-m+1)k^{n-m}$(一个序列重复次数恰好为$a$出现次数),对于后者,先忽略$a$的次数,即统计有多少个不合法序列
考虑dp,令$f[i][j]$表示前$i$个数,后$j$个数各不相同(且后$j+1$个数存在相同)的不合法序列数,转移对最后一个数分类讨论:
1.与第$i-j$个数不同,即长度增加1,则有$f[i][j]+=(k-(j-1))f[i-1][j-1]$
2.与第$i-j$个数相同,那么上一次长度任意,即$f[i][j]+=\sum_{t=j}^{k}f[i-1][t]$
暴力时间复杂度为$o(nk^{2})$,前缀和优化可以做到$o(nk)$,再考虑$a$的影响,对$a$分类讨论:
1.若$a$中包含一个$k$阶排列($a$合法),那么存在$a$必然合法,即不合法序列中$a$出现次数之和为0
2.若$a$中元素各不相同且$m<k$,定义$g[i][j]$表示所有$f[i][j]$序列中长为$m$且各不相同的子串数之和,转移类似,即在$j\ge m$时累计入$g[i][j]$中即可
同时,由于$m$个元素以及顺序已经确定,因此要除以$P(k,m)$(其中$P$为排列,即$P(n,m)=\frac{n!}{(n-m)!}$)
3.若$a$中包含相同的元素,令$x$为最大的$x$满足$[1,x]$中元素各不相同,$y$为最小的$y$使得$[y,m]$中元素各不相同,将整个序列分为$[1,x]$、$(x,y)$和$[y,m]$三部分
若$(x,y)$非空,那么即要求$(x,y)$不会影响其合法性,考虑如果存在一段长度为$k$的排列经过这个,那么必然不能完全在$[1,m]$内部(第一种情况),那么如果选择左边"出去",则不能选择到$x+1$,右边同理,即得证
具体来说,先枚举出现$a$的位置$i$,再枚举最后一段,即$\sum_{i=1}^{n}\frac{\sum_{j=x}^{k-1}f[i+x-1][j]}{P(k,x)}\cdot \frac{\sum_{j=m-y+1}^{k-1}f[n-(i-1)-(y-1)][j]}{P(k,m-y+1)}$
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1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 25005 4 #define K 405 5 #define mod 1000000007 6 int n,m,k,ans,inv[K],a[N],vis[N],las[K],f[N][K],g[N][K]; 7 int p_inv(int n,int m){ 8 int ans=1; 9 for(int i=n-m+1;i<=n;i++)ans=1LL*ans*inv[i]%mod; 10 return ans; 11 } 12 int main(){ 13 inv[0]=inv[1]=1; 14 for(int i=2;i<K-4;i++)inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod; 15 scanf("%d%d%d",&n,&k,&m); 16 for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d",&a[i]); 17 ans=n-m+1; 18 for(int i=1;i<=n-m;i++)ans=1LL*ans*k%mod; 19 int tot=0,flag=0,x,y; 20 for(int i=1;i<=m;i++){ 21 if (++vis[a[i]]==1)tot++; 22 if ((i>k)&&(--vis[a[i-k]]==0))tot--; 23 if (tot==k){ 24 printf("%d",ans); 25 return 0; 26 } 27 } 28 f[0][0]=1; 29 for(int i=1;i<=n;i++){ 30 tot=0; 31 for(int j=k-1;j;j--){ 32 tot=(tot+f[i-1][j])%mod; 33 f[i][j]=(1LL*(k-j+1)*f[i-1][j-1]+tot)%mod; 34 } 35 } 36 for(int i=1;i<=m;i++)las[a[i]]=i; 37 for(int i=1;i<=m;i++) 38 if (las[a[i]]!=i)flag=1; 39 if (!flag){ 40 for(int i=1;i<=n;i++){ 41 tot=0; 42 for(int j=k-1;j;j--){ 43 tot=(tot+g[i-1][j])%mod; 44 g[i][j]=(1LL*(k-j+1)*g[i-1][j-1]+tot)%mod; 45 if (j>=m)g[i][j]=(g[i][j]+f[i][j])%mod; 46 } 47 } 48 tot=0; 49 for(int i=1;i<=k;i++)tot=(tot+g[n][i])%mod; 50 printf("%d",(ans+mod-1LL*tot*p_inv(k,m)%mod)%mod); 51 return 0; 52 } 53 memset(las,0,sizeof(las)); 54 for(int i=1;i<=m;i++){ 55 if (las[a[i]]){ 56 x=i-1; 57 break; 58 } 59 las[a[i]]=1; 60 } 61 memset(las,0,sizeof(las)); 62 for(int i=m;i;i--){ 63 if (las[a[i]]){ 64 y=i+1; 65 break; 66 } 67 las[a[i]]=1; 68 } 69 for(int i=1;(i+x-1<=n)&&(i-1<=n-(y-1));i++){ 70 int s1=0,s2=0; 71 for(int j=x;j<k;j++)s1=(s1+f[i+x-1][j])%mod; 72 for(int j=m-y+1;j<k;j++)s2=(s2+f[n-(i-1)-(y-1)][j])%mod; 73 s1=1LL*s1*p_inv(k,x)%mod; 74 s2=1LL*s2*p_inv(k,m-y+1)%mod; 75 ans=(ans+mod-1LL*s1*s2%mod)%mod; 76 } 77 printf("%d",ans); 78 }