[cf809E]Surprise me
令$d=\gcd(a_{i},a_{j})$，则$\varphi(a_{i}a_{j})=\frac{\varphi(a_{i})\varphi(a_{j})d}{\varphi(d)}$（证明直接质因数分解即可）
枚举gcd并莫比乌斯反演，可得为$\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T}\frac{d\mu(\frac{T}{d})}{\varphi(d)}\sum_{i=1}^{\frac{n}{T}}\sum_{j=1}^{\frac{n}{T}}\varphi(iT)\varphi(jT)dis(p_{iT},p_{jT})$（其中$p_{i}$表示$i$所在的位置，即$p_{a_{i}}=i$）
对于$\sum_{d|T}\frac{d\mu(\frac{T}{d})}{\varphi(d)}$，$o(n\ln n)$预处理即可，对于后半部分，先对所有$p_{iT}$并建出虚树，可以看作一棵$\frac{n}{T}$个点的数，第$i$个点点权$v_{i}=\varphi(iT)$，求$\sum_{i=1}^{n'}\sum_{j=1}^{n'}v_{i}v_{j}dis(i,j)$
将距离拆为两部分，即$dis(i,j)=dep_{i}+dep_{j}-2dep_{lca(i,j)}$，前半部分即$2(\sum_{i=1}^{n'}v_{i})(\sum_{i=1}^{n'}v_{i}dep_{i})$，后半部分考虑枚举lca，即统计其不同的两棵子树中点权乘积和
换言之，维护子树内点权和$sum_{k}$，那么即$\sum_{son}(sum_{k}-sum_{son})sum_{son}$，再乘上$2dep_{k}$即可
时间复杂度为$o(n\ln n\log_{2}n)$（建虚树排序），可以通过
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 200005 4 #define mod 1000000007 5 struct ji{ 6 int nex,to; 7 }edge[N<<1]; 8 vector<int>v; 9 int E,n,x,y,ans,p[N],vis[N],mu[N],phi[N],f[N],head[N],a[N],dfn[N],sh[N],st[N],sum[N],fa[N][21]; 10 bool cmp(int x,int y){ 11 return dfn[x]<dfn[y]; 12 } 13 int ksm(int n,int m){ 14 if (!m)return 1; 15 int s=ksm(n,m>>1); 16 s=1LL*s*s%mod; 17 if (m&1)s=1LL*s*n%mod; 18 return s; 19 } 20 void add(int x,int y){ 21 edge[E].nex=head[x]; 22 edge[E].to=y; 23 head[x]=E++; 24 } 25 int lca(int x,int y){ 26 if (sh[x]<sh[y])swap(x,y); 27 for(int i=20;i>=0;i--) 28 if (sh[fa[x][i]]>=sh[y])x=fa[x][i]; 29 if (x==y)return x; 30 for(int i=20;i>=0;i--) 31 if (fa[x][i]!=fa[y][i]){ 32 x=fa[x][i]; 33 y=fa[y][i]; 34 } 35 return fa[x][0]; 36 } 37 void dfs1(int k,int f,int s){ 38 dfn[k]=++x; 39 sh[k]=s; 40 fa[k][0]=f; 41 for(int i=1;i<=20;i++)fa[k][i]=fa[fa[k][i-1]][i-1]; 42 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex) 43 if (edge[i].to!=f)dfs1(edge[i].to,k,s+1); 44 } 45 int dfs2(int k){ 46 int ans=0; 47 for(int i=head[k];i!=-1;i=edge[i].nex){ 48 ans+=dfs2(edge[i].to); 49 ans=(ans+2LL*sum[edge[i].to]*sum[k]%mod*sh[k])%mod; 50 sum[k]=(sum[k]+sum[edge[i].to])%mod; 51 sum[edge[i].to]=0; 52 } 53 head[k]=-1; 54 return ans; 55 } 56 int calc(int k){ 57 int s=0,ans=0; 58 v.clear(); 59 for(int i=k;i<=n;i+=k){ 60 v.push_back(a[i]); 61 s=(s+phi[i])%mod; 62 } 63 sort(v.begin(),v.end(),cmp); 64 E=st[0]=0; 65 if (v[0]!=1)st[++st[0]]=1; 66 for(int i=0;i<v.size();i++){ 67 x=lca(v[i],st[st[0]]); 68 while ((st[0]>1)&&(sh[x]<=sh[st[st[0]-1]])){ 69 add(st[st[0]-1],st[st[0]]); 70 st[0]--; 71 } 72 if ((st[0])&&(st[st[0]]!=x)){ 73 add(x,st[st[0]--]); 74 st[++st[0]]=x; 75 } 76 st[++st[0]]=v[i]; 77 } 78 while (st[0]>1){ 79 add(st[st[0]-1],st[st[0]]); 80 st[0]--; 81 } 82 sum[1]=0; 83 for(int i=k;i<=n;i+=k){ 84 sum[a[i]]=phi[i]; 85 ans=(ans+1LL*sh[a[i]]*phi[i]%mod*(s-phi[i]+mod))%mod; 86 } 87 return 2LL*(ans-dfs2(1)+mod)%mod; 88 } 89 int main(){ 90 mu[1]=phi[1]=1; 91 for(int i=2;i<N-4;i++){ 92 if (!vis[i]){ 93 p[++p[0]]=i; 94 mu[i]=-1; 95 phi[i]=i-1; 96 } 97 for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<N-4);j++){ 98 vis[i*p[j]]=1; 99 if (i%p[j]){ 100 mu[i*p[j]]=mu[i]*mu[p[j]]; 101 phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]]; 102 } 103 else{ 104 mu[i*p[j]]=0; 105 phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j]; 106 break; 107 } 108 } 109 } 110 for(int i=1;i<N-4;i++) 111 for(int j=i;j<N-4;j+=i)f[j]=(f[j]+1LL*i*mu[j/i]%mod*ksm(phi[i],mod-2))%mod; 112 scanf("%d",&n); 113 for(int i=1;i<=n;i++){ 114 scanf("%d",&x); 115 a[x]=i; 116 } 117 memset(head,-1,sizeof(head)); 118 for(int i=1;i<n;i++){ 119 scanf("%d%d",&x,&y); 120 add(x,y); 121 add(y,x); 122 } 123 x=0; 124 dfs1(1,1,0); 125 memset(head,-1,sizeof(head)); 126 for(int i=1;i<=n;i++)ans=(ans+1LL*f[i]*calc(i))%mod; 127 printf("%lld",1LL*ksm(n,mod-2)*ksm(n-1,mod-2)%mod*ans%mod); 128 }
