[loj6519]魔力环

根据Burnside引理，枚举旋转的步数$k$，求不动点的数目

令$d=\gcd(n,k)$，这个问题其实可以等价于填$\frac{n}{d}$个长度为$d$的环（因此很明显$\frac{n}{d}|m$是必要条件）

对于$d$相同的$k$是等价的，因此不妨枚举$d$，则$k$的数量即为$\sum_{i=1}^{\frac{n}{d}}[\gcd(i,\frac{n}{d})=1]=\varphi(\frac{n}{d})$

记$n'=d,m'=\frac{md}{n}$，对于这个子问题，由于其旋转所得是不同的，因此枚举首尾的黑点数量之和，即$ans=\sum_{i=0}^{k}i\cdot f(n'-i-2,m'-i)$，其中$f(n,m)$表示这个子问题在序列上的答案

（这里要特判，当$m'\le k$时答案显然为$c(n',m')$）

考虑$f(n,m)$的计算，可以看作将$m$个黑点分为至多$n-m+1$份（可以为空且不超过$k$）的方案数

令$n'=n-m+1$，容斥存在$i$份超过$k$，将他们都减去$k$，那么这$n'$份就没有限制，再根据插板法即可得到$f(n,m)=\sum_{0\le i\le n',i(k+1)\le m}(-1)^{i}\cdot c(n',i)\cdot c(m-i(k+1)+n'-1,n'-1)$

时间复杂度：$o(\sum_{d|n}k\cdot \frac{\frac{md}{n}}{k})=o(\sigma_{1}(n))\le o(n\ln n)$（先枚举$d$，再枚举$i$，最后计算$f$），可以通过

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 100005
#define mod 998244353
int n,m,k,ans,fac[N],inv[N],p[N],vis[N],phi[N];
int c(int n,int m){
    return 1LL*fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
} 
int f(int n,int m){
    int nn=n-m+1,ans=0;
    for(int i=0;(i<=nn)&&(i*(k+1)<=m);i++){
        int s=1LL*c(nn,i)*c(m-i*(k+1)+nn-1,nn-1)%mod;
        if (i&1)ans=(ans+mod-s)%mod;
        else ans=(ans+s)%mod;
    }
    return ans;
}
int calc(int n,int m){
    if (m<=k)return c(n,m);
    int ans=0;
    for(int i=0;i<=k;i++)
        if ((n-i-2>=0)&&(m>=i))ans=(ans+1LL*(i+1)*f(n-i-2,m-i))%mod;
    return ans;
}
int main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    fac[0]=inv[0]=inv[1]=phi[1]=1;
    for(int i=1;i<N-4;i++)fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
    for(int i=2;i<N-4;i++)inv[i]=1LL*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    for(int i=1;i<N-4;i++)inv[i]=1LL*inv[i-1]*inv[i]%mod;
    for(int i=2;i<N-4;i++){
        if (!vis[i]){
            p[++p[0]]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;(j<=p[0])&&(i*p[j]<N-4);j++){
            vis[i*p[j]]=1;
            if (i%p[j])phi[i*p[j]]=phi[i]*phi[p[j]];
            else{
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
        }
    } 
    for(int i=1;i*i<=n;i++){
        if ((n%i==0)&&(m%(n/i)==0))ans=(ans+1LL*phi[n/i]*calc(i,m/(n/i)))%mod;
        if ((i*i!=n)&&(n%i==0)&&(m%i==0))ans=(ans+1LL*phi[i]*calc(n/i,m/i))%mod;
    }
    printf("%lld",1LL*ans*fac[n-1]%mod*inv[n]%mod);
}