[bzoj5295]染色
将这张图化简，不断删掉度为1的点（类似于拓扑排序），构成了一张由环组成的图
考虑一个连通块中，设点数为n，边数为m（已经删掉了度为1的点），那么一共只有三种情况：
1.一个环($n=m$)，一定为YES
2.多个环嵌套($n+1<m$)，一定为NO
3.两个环($n+1=m$)，其实可以看成有两个点（可以重合），然后这两个点中间有三条路径，记长度分别为l1,l2,l3，那么有结论：当且仅当三条边依次为2,2和偶数时成立
证明：
首先三条边必然要同奇偶，否则存在奇环，对于奇环上的点都选择集合${AB}$即可卡掉
然后如果三条边都是奇数，由于原图不存在重边，因此最多只有一条路径上没有点，不妨设$l1,l2>1$，可以用l3来构造两点不同，l1来构造不能选AB，l2来构造不能选BA
那么三条边都是偶数，如果其中只有1条边小于等于2，那么$l1,l2\ge 4$，同理可以用l3来构造两点相同，l1来卡掉都选A，l2来卡掉都选B
当有两条路径长度小于等于2（由于没有重边，所以一定都恰好为2），很容易发现无法卡掉
考虑一个连通块中，设点数为n，边数为m（已经删掉了度为1的点），那么一共只有三种情况：
1.一个环($n=m$)，一定为YES
2.多个环嵌套($n+1<m$)，一定为NO
3.两个环($n+1=m$)，其实可以看成有两个点（可以重合），然后这两个点中间有三条路径，记长度分别为l1,l2,l3，那么有结论：当且仅当三条边依次为2,2和偶数时成立
证明：
首先三条边必然要同奇偶，否则存在奇环，对于奇环上的点都选择集合${AB}$即可卡掉
然后如果三条边都是奇数，由于原图不存在重边，因此最多只有一条路径上没有点，不妨设$l1,l2>1$，可以用l3来构造两点不同，l1来构造不能选AB，l2来构造不能选BA
那么三条边都是偶数，如果其中只有1条边小于等于2，那么$l1,l2\ge 4$，同理可以用l3来构造两点相同，l1来卡掉都选A，l2来卡掉都选B
当有两条路径长度小于等于2（由于没有重边，所以一定都恰好为2），很容易发现无法卡掉
1 #include<bits/stdc++.h> 2 using namespace std; 3 #define N 10005 4 queue<int>q; 5 vector<int>v[N]; 6 int t,n,m,x,y,a[N],r[N],vis[N]; 7 void dfs(int k,int fa){ 8 if (vis[k])return; 9 vis[k]=1; 10 if (r[k]>2)a[++a[0]]=k; 11 x++; 12 for(int i=0;i<v[k].size();i++) 13 if ((r[v[k][i]]>1)&&(v[k][i]!=fa)){ 14 if ((fa)||(!vis[v[k][i]]))y++; 15 dfs(v[k][i],k); 16 } 17 } 18 void calc(int k,int fa,int x,int s){ 19 if (k==x){ 20 a[++a[0]]=s; 21 return; 22 } 23 for(int i=0;i<v[k].size();i++) 24 if ((r[v[k][i]]>1)&&(v[k][i]!=fa))calc(v[k][i],k,x,s+1); 25 } 26 int main(){ 27 scanf("%d",&t); 28 while (t--){ 29 scanf("%d%d",&n,&m); 30 memset(r,0,sizeof(r)); 31 memset(vis,0,sizeof(vis)); 32 for(int i=1;i<=n;i++)v[i].clear(); 33 for(int i=1;i<=m;i++){ 34 scanf("%d%d",&x,&y); 35 r[x]++; 36 r[y]++; 37 v[x].push_back(y); 38 v[y].push_back(x); 39 } 40 for(int i=1;i<=n;i++){ 41 if (!r[i])vis[i]=1; 42 if (r[i]==1)q.push(i); 43 } 44 while (!q.empty()){ 45 int k=q.front(); 46 q.pop(); 47 vis[k]=1; 48 for(int i=0;i<v[k].size();i++) 49 if (--r[v[k][i]]==1)q.push(v[k][i]); 50 } 51 bool flag=0; 52 for(int i=1;i<=n;i++){ 53 x=y=a[0]=0; 54 dfs(i,0); 55 if ((x==y)&&(x%2==0))continue; 56 if ((a[0]<2)||(x+1<y)||(x==y)&&(x&1)){ 57 flag=1; 58 break; 59 } 60 x=a[1]; 61 y=a[2]; 62 a[0]=0; 63 calc(x,0,y,0); 64 sort(a+1,a+a[0]+1); 65 if ((a[1]&1)||(a[2]&1)||(a[3]&1)||(a[2]>2)){ 66 flag=1; 67 break; 68 } 69 } 70 if (flag)printf("NO\n"); 71 else printf("YES\n"); 72 } 73 }
