P4859 已经没有什么好害怕的了

显然我们可以解出 $a_i>b_i,a_i<b_i$ 的分别有 $x,y$ 组。

首先，我们把这个东西当成一个配对，可以考虑一下把所有的数合并到一起排序。

然后显然可以有一个 dp，记 $dp_{i,cnt,p_1,p_2}$ 表示我们目前考虑到了第 $i$ 个数，当前满足 $a_i>b_i$ 的数对有 $cnt$ 个，前 $i$ 个数里剩下没有配对的 $a,b$ 分别有 $p_1,p_2$ 个。

转移是显然的，总复杂度 $O(n^4)$。考虑优化，没有优化。

我们发现限制“恰好” $k$ 个着实有些问题，我们考虑容斥花费一定时间的代价把它转化成“至少” $k$ 个。

我们设恰好 $k$ 个是 $f(k)$，至少 $k$ 个是 $g(k)$，我们有

$$g(k)=\sum_{i=k}^nf(i)\binom{i}{k}$$

由二项式反演，我们可以得到

$$f(k)=\sum_{i=k}^n(-1)^{i-k}g(i)\binom{i}{k}$$

我们成功以 $O(n)$ 的代价转移了问题，现在考虑子问题怎么做。

不会。

“至少” $k$ 个该怎么解决呢？我们考虑只去限制这 $k$ 个组。

考虑记 $dp_{i,j}$ 表示我们考虑到 $a_i$，当前至少有 $j$ 个组满足条件，记 $c_i$ 表示有多少个 $b$ 可以和 $a_i$ 配成合法对。

$$dp_{i,j}=dp_{i-1,j}+(c_i-(j-1))dp_{i-1,j-1}$$

那么我们有

$$g(k)=dp_{n,k}(n-k)!$$

至此，我们在 $O(n^2)$ 内解决了问题。