RMQ问题 ST算法(学习笔记)

RMQ是询问某个区间的最大值或最小值的问题，主要求解方法之一ST算法；

ST算法其实是倍增思想的产物,等下看代码实现就很明显了

ST算法通常用在要多次询问一些区间的最值的问题中，相比于线段树，它的程序实现更简单，运行速度更快;

ST算法没有修改操作(或者说不擅长动态修改)

ST算法流程：

预处理：ST算法的原理实际上是动态规划，我们用a数组表示一组数，设\(f[i,j]\)表示从\(a[i]\)到\(a[i+2^j-1]\)这个范围内的最大值，从中间平均分成两部分，即把\(f[i,j]\)分为\(f[i,j-1]\)和\(f[i+2^{j-1},j-1]\)(是不是很像倍增！！！)

整个区间的最大值一定是左右两部分最大值的较大值，于是得到状态转移方程：

\(f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+2^{j-1}][j-1])\)

边界条件为\(f[i][0]=a[i]\);

于是我们可以预处理出f数组；

询问：若询问区间\([l,r]\)的最大值，则先求出最大的x满足\(2^x<=r-l+1\)，那么区间

\([l,r]=[l,l+2^x-1]∪[r-2^x+1,r]\)

两个区间有并集，但不妨碍求区间最值，这也是ST算法只能求区间最值的原因；

求区间\([x,y]\)的最大值，表达式为：

\(k=log_2(y-x+1)\);

\(ans=max(f[x][k],f[y-2^k+1][k])\);

因为log函数效率不高，通常递推预处理k值(设\(log[d]\)表示\(log_2\)d向下取整，取\(log[d]=log[d/2]+1\))：

log[0]=-1;//log[0]=-1,才能使log[1]=0
for(int i=1;i<=n;i++)
	log[i]=log[i>>1]+1;
    

模板：

log[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;i++)//n个数的序列
	f[i][0]=a[i],log[i]=log[i>>1]+1;
//根据f数组的定义,f[i][0]=a[i]
//预处理出长度为1~n的log数组
for(int j=1;j<=LogN;j++)//LogN一般取20即可
    for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)//1<<j即2^j
        f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1])
while(m--){
	cin>>x>>y;//询问区间[x,y]内的最大值
    int k=log[y-x+1];//log2(y-x+1)向下取整的值
    cout<<max(f[x][k],f[y-(1<<k)+1][k]);
}