Lucas卢卡斯定理(学习笔记)

Lucas定理是用来求$C(n,m) mod $ p，p为质数。

若P是质数,则对于任意整数1<=m<=n,有:

\(C^m_n≡C^{m \mod p}_{n \mod p}*C^{m/p}_{n/p}(\mod p)\)

也就是

\(C(n,m)=C(n/p,m/p)*C(n \mod p,m \mod p) \mod p\)

也就是

\(Lucas(n,m)\mod p=C(n \mod p,m \mod p)*Lucas(n/p,m/p)\mod p\)

从这个公式我们可以看出我们需要求解的东西有:

1 组合数C(n,m)

而组合数公式\(C^m_n=n!/(m!*(n-m)!)\),所以

2 阶乘(线性递推)

由于p是素数,根据费马小定理，\(m!*(n - m)!\)关于p的逆元就是\(m!*(n - m)!\)的\(p-2\)次方,所以

3 逆元(线性递推)

4 快速幂

是不是要求解的东西比较多啊,但都是模板;

P3807 【模板】卢卡斯定理

给定\(n,m,p(1\le n,m,p\le 10^5)\)

求\(C_{n+m}^m\) \(mod\) p,保证P为prime,C表示组合数;

这就是lucas定理的模板题,没有什么分析的了,把几个模板打上去就行了;

只有核心模板的代码

LL quickpow(LL a,int b){
    LL cnt=1;
    while(b){
    	if(b&1) cnt=cnt*a%p;
    	a=a*a%p;
    	b=b>>1;
    }
    return cnt;
}//快速幂
LL C(int a,int b){
    if(a<0||b<0||a<b) return 0;
    return 1ll*jc[a]*ny[b]%p*ny[a-b]%p;
}//组合数,jc[]表示阶乘,ny[]表示逆元
LL lucas(int a,int b){
    if(a+b==0) return 1;
    return 1ll*C(a%p,b%p)*lucas(a/p,b/p)%p;
}//卢卡斯定理
int main(){
    T=read();
    while(T--){
    	n=read();m=read();p=read();
    	jc[0]=ny[0]=1;
//线性递推初始化
    	for(LL i=1;i<=p-1;i++)
        	jc[i]=jc[i-1]*i%p;
//求1到p-1的阶乘
    	ny[p-1]=quickpow(jc[p-1],p-2);
//求p-1的逆元
    	for(LL i=p-2;i;i--)
        	ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%p;
//线性递推求p-2到1的逆元
    	printf("%lld\n",lucas(m+n,m));
    }
    return 0;
}