并查集(学习笔记)

基础的并查集知识(包括路径压缩)这里就不再讲述了~

主要是想讲讲两种扩展并查集:"扩展域"和"边带权"的并查集

即我们常说的种类并查集和带权并查集;

"边带权"并查集:

并查集实际上是一个森林,我们可以在树中的每条边上记录一个权值,即维护一个数组d,用d[x]保存节点x到父节点fa[x]之间的边权;

每次路径压缩时,除了把每个访问的节点直接指向树根(路径压缩),同时更新这些节点的d值;

例题: P1196 [NOI2002]银河英雄传说

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1196

公元五八○一年，地球居民迁至金牛座α第二行星，在那里发表银河联邦创立宣言，同年改元为宇宙历元年，并开始向银河系深处拓展。

宇宙历七九九年，银河系的两大军事集团在巴米利恩星域爆发战争。泰山压顶集团派宇宙舰队司令莱因哈特率领十万余艘战舰出征，气吞山河集团点名将杨威利组织麾下三万艘战舰迎敌。

杨威利擅长排兵布阵，巧妙运用各种战术屡次以少胜多，难免恣生骄气。在这次决战中，他将巴米利恩星域战场划分成30000列，每列依次编号为1,2,…,30000,之后，他把自己的战舰也依次编号为1,2,…,30000,让第i号战舰处于第i列(i=1,2,…,30000),形成“一字长蛇阵”，诱敌深入。这是初始阵形。当进犯之敌到达时，杨威利会多次发布合并指令，将大部分战舰集中在某几列上，实施密集攻击。合并指令为\(M_{i,j}\)，含义为第i号战舰所在的整个战舰队列，作为一个整体（头在前尾在后）接至第j号战舰所在的战舰队列的尾部。显然战舰队列是由处于同一列的一个或多个战舰组成的。合并指令的执行结果会使队列增大。

然而，老谋深算的莱因哈特早已在战略上取得了主动。在交战中，他可以通过庞大的情报网络随时监听杨威利的舰队调动指令。

在杨威利发布指令调动舰队的同时，莱因哈特为了及时了解当前杨威利的战舰分布情况，也会发出一些询问指令\(C_{i,j}\),该指令意思是，询问电脑，杨威利的第i号战舰与第j号战舰当前是否在同一列中，如果在同一列中，那么它们之间布置有多少战舰。

作为一个资深的高级程序设计员，你被要求编写程序分析杨威利的指令，以及回答莱因哈特的询问。

最终的决战已经展开，银河的历史又翻过了一页……

分析:

对于本题,把每一列战舰看作一个集合,用并查集维护;

树上每条边带权值1(相当于同一棵树上相邻两艘战舰之间的距离为1),这样树上两点之间的距离减1就是二者之间间隔的战舰数量;

路径压缩的同时,额外建立一个数组d,\(d[x]\)记录战舰x与\(fa[x]\)之间的边的权值,更新\(d[x]\);

只要对find函数稍微修改一下:

int find(int x){
    if(x==fa[x]) return x;
    int root=find(fa[x]);
    d[x]+=d[fa[x]];//维护d数组,对边权求和
    return fa[x]=root;//路径压缩
}

合并函数,size数组在每个树根上记录该集合的大小(即该集合战舰的总数量)

void unionn(int x,int y){
    x=find(x);y=find(y);
    fa[x]=y;
    d[x]=size[y];
    size[y]+=size[x];
}

"扩展域"并查集:

即对于一个变量x,扩展出多个"域"(相当于把一个节点拆成多个节点);

可能文字不太好解释,直接看一道例题~

P2024 [NOI2001]食物链

https://www.luogu.org/problemnew/show/P2024

动物王国中有三类动物 A,B,C，这三类动物的食物链构成了有趣的环形。A 吃 B，B

吃 C，C 吃 A。

现有 N 个动物，以 1 － N 编号。每个动物都是 A,B,C 中的一种，但是我们并不知道

它到底是哪一种。

有人用两种说法对这 N 个动物所构成的食物链关系进行描述：

第一种说法是“1 X Y”，表示 X 和 Y 是同类。

第二种说法是“2 X Y”，表示 X 吃 Y 。

此人对 N 个动物，用上述两种说法，一句接一句地说出 K 句话，这 K 句话有的是真

的，有的是假的。当一句话满足下列三条之一时，这句话就是假话，否则就是真话。

• 当前的话与前面的某些真的话冲突，就是假话

• 当前的话中 X 或 Y 比 N 大，就是假话

• 当前的话表示 X 吃 X，就是假话

你的任务是根据给定的 N 和 K 句话，输出假话的总数。

分析:

我们可以把每个动物x拆成三个节点(即扩展为三个域):同类域,捕食域,天敌域;

如果一句话说"x和y是同类",则合并x和y的三个域(这里很好理解吧,x和y是同类,则他们的三个域都一样)

如果一句话说"x吃y"(这里就有点绕了,好好理解一下),那么"x的捕食域是y的同类域(x吃y一类的动物)","x的同类域是y的天敌域(x一类的动物都是y的天敌),"x的天敌域是y的捕食域(这个是根据题意说三类动物构成一个环,若x吃y,则y吃z,则z吃x,所以x的天敌就是y捕食的一类动物)";

处理每一句话的难点在于判断这句话是否与之前的话冲突:

我们分别讨论一下对于当前的两句话,可能有什么情况跟它产生冲突:

1 x和y是同类:

则x的捕食域和y的同类域在同一个集合(即x吃y)矛盾;

则x的同类域和y的捕食域在同一个集合(即y吃x)矛盾;

2 x吃y:

则x的同类域和y的同类域在同一个集合矛盾(即x和y是同类)

则x的同类域和y的捕食域在同一个集合矛盾(即y吃x);

综上我们只需要在每次处理一句话时,对它进行判断即可,确认合法之后再合并,每次合并需要把三个域都进行合并;

还有一个小技巧就是直接一个数组记录三个域:

下标1~n 同类域

下标n+1~2*n 捕食域

下标2n+1~3n 天敌域

最后总结一下,不难发现,"边带权"并查集需要对find和unionn函数进行稍微增加改动(维护一个数组),"扩展域"并查集则需要在合并时把每个域都合并;