当时就做了两道签到题DJ，这两天补了四道简单题HKLM
题意：\(n × m\) 的巧克力，Kelin先手，Walk Alone后手，每人每次拿走一块左下角为\((1,1)\)的子矩形的巧克力，谁拿走 \((n, m)\) 处的巧克力谁输。
分析：这是一道结论题，只有\(1 × 1\)的时候后手赢，其余情况下都是先手赢。证明不会，当时就是随手推了\(1 × n\)、\(2 × n\)、\(3 × 3\)、\(3 × 4\)这些情况，发现都是先手赢，然后就大胆猜想出了结论。
题意：Walk Alone 初始有 n 块钱，每次投入 x 元，有一半的概率输掉这 x 元，另一半概率赢得 2x 元。现在 Walk Alone 采取下述策略投注：如果上一把赢了，这一把投 \(x_i = 1\) 元；如果上一把输了，这一把投 \(x_i = 2x_{i−1}\) 元。问 Walk Alone 有多大概率拿到 n + m 元离开。
分析：容易发现只要赢一把就是赚1块钱，就是说不论前面连输多少把，对于一组“输输......输输赢”都是赚1块钱，因此总共要赢m把。但是直接算赢m把的概率不好算，考虑算输掉的概率，也就是说连输的情况下无法支付下一次应该投入的钱。假设现在手上有x块钱，考虑连输最多能输y把，则能够从x变成x+1块钱的概率就是\(1-2^{-y}\)。对于每个x，y都是可以预处理出的。例如\(x \epsilon [1,2]\)时\(y=1\)，\(x \epsilon [3,6]\)时\(y=2\)，规律就是\(x \epsilon [2^i-1,2^{i+1}-2]\)时\(y=i\).
算的时候分成三个部分计算贡献即可，\(n\)所在的区间、中间跨越的区间以及\(n+m\)所在的区间，然后特判\(n\)和\(n+m\)同属一个区间的情况。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int read(){
int x=0,o=1;char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*o;
}
const int N=1e5+5;
const int M=150005;
const int mod=998244353;
const int inf=1e9;
ll base[50];
ll quickpow(ll a,ll b){
ll ret=1;
while(b){
if(b&1)ret=(1ll*ret*a)%mod;
a=(1ll*a*a)%mod;
b>>=1;
}
return ret;
}
int main(){
//int n=read(),m=read();
ll n,m;
cin>>n>>m;
base[0]=1;
for(int i=1;i<=31;++i){
base[i]=base[i-1]*2ll;
}
ll nn,mm;
ll ans=1;
//cout<<base[30]<<" "<<base[31]<<endl;
//cout<<quickpow(2,mod-2)<<endl;
for(nn=1;nn<=30;++nn){
if(base[nn]-1<=n&&n<=base[nn+1]-2)break;
}
for(mm=1;mm<=30;++mm){
if(base[mm]-1<=n+m&&n+m<=base[mm+1]-2)break;
}
if(nn==mm){
ll cnt1=m;
ans=(1ll*ans*quickpow(base[nn]-1,cnt1)%mod*quickpow(quickpow(base[nn],mod-2),cnt1)%mod)%mod;
}
else{
ll cnt1=base[nn+1]-2-n+1;
ans=(1ll*ans*quickpow(base[nn]-1,cnt1)%mod*quickpow(quickpow(base[nn],mod-2),cnt1)%mod)%mod;
ll cnt2=n+m-(base[mm]-1);
//cout<<cnt1<<" "<<cnt2<<endl;
ans=(1ll*ans*quickpow(base[mm]-1,cnt2)%mod*quickpow(quickpow(base[mm],mod-2),cnt2)%mod)%mod;
for(ll i=nn+1;i<=mm-1;++i){
ans=(1ll*ans*quickpow(base[i]-1,base[i])%mod*quickpow(quickpow(base[i],mod-2),base[i])%mod)%mod;
}
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
题意：给定两个长度为 n 的序列\(a_i,b_i\)，现在可以选择其中一个序列交换其中的两个数字，问经过至多一次操作后最小的\(\sum_{i=1}^n|a_i-b_i|\)是多少。
分析：交换哪个序列都一样，需要自己分类讨论各种情况然后发现只有两种情况下的交换有意义。对于\((a_x,b_x),(a_y,b_y)\)，第一种情况就是\((a_x-a_y)(b_x-b_y)<0\)且两个区间是包含的关系，此时交换\(a_x\)和\(a_y\)，可以获得 \(2*\)[被包含的区间的长度] 的收益。第二种情况就是\((a_x-a_y)(b_x-b_y)<0\)且两个区间是相交的关系，此时交换\(a_x\)和\(a_y\)，可以获得 \(2*\)[区间相交长度] 的收益。
将所有的 \((a_i, b_i)\) 分为 \(a_i < b_i\) 与 \(a_i > b_i\) 两类，记为 S 和 T。对于T中每个元素，去S中二分查找满足上述两种情况的区间并计算收益值，找到最大收益值即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int read(){
int x=0,o=1;char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*o;
}
const int N=1e6+5;
const int M=4e5+5;
const int mod=998244353;
const int inf=1e9;
int a[N],b[N];
int lg[N],f[N][25];
struct node{
int l,r;
}S[N],T[N],SS[N];
vector<int>sx,sy,sl;
bool cmp(node x,node y){
return x.l<y.l;
}
int main(){
int n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read();
for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read();
ll sum=0;
int s=0,t=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
sum+=abs(a[i]-b[i]);
if(a[i]<b[i]){
S[++s].l=a[i];
S[s].r=b[i];
}
else if(a[i]>b[i]){
T[++t].l=b[i];
T[t].r=a[i];
}
}
sort(S+1,S+s+1,cmp);
int nowr=-(2*inf);
for(int i=1;i<=s;++i){
if(S[i].r<=nowr)continue;
nowr=S[i].r;
sx.push_back(S[i].l);
sy.push_back(S[i].r);
sl.push_back(S[i].r-S[i].l);
}
// for(int i=1;i<=s;++i){
// sx.push_back(S[i].l);
// sy.push_back(S[i].r);
// sl.push_back(S[i].r-S[i].l);
// }
lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=sl.size();i++)
f[i][0]=sl[i-1],lg[i]=lg[i>>1]+1;
for(int j=1;j<=20;j++)
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=sl.size();i++)
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<j-1)][j-1]);
int ans=0;
for(int i=1;i<=t;++i){
int x=T[i].l,y=T[i].r;
int ret=0;
int l=upper_bound(sx.begin(),sx.end(),x)-sx.begin();
int r=lower_bound(sy.begin(),sy.end(),y)-sy.begin();
if(l>0)ret=max(ret,min(y,sy[l-1])-x);
if(r<sx.size())ret=max(ret,y-max(x,sx[r]));
if(r>l){
int k=lg[r-l];
ret=max(ret,max(f[l+1][k],f[r-(1<<k)+1][k]));
}
ans=max(ans,ret);
}
cout<<sum-2ll*ans<<endl;
return 0;
}
题意：给定一个无向图 \(G(n, m)\)，可以向其中任意一条边中插入任意多个点，可以操作任意多次（也可以不操作）。问经过这样处理之后，从 1 号节点出发，至多走 k 步最多可以到多少个节点。
分析：构造出bfs树，无向图中的非树边可以插入任意多个点都不影响原来节点的深度，无向图中的树边如果其一端是叶子节点就可以插入若干点使得该叶子节点的深度变为k即可，否则保持不变。这样做的原因是保证原图中的合法点仍然合法（插入一个合法点而让原本合法的点变得不合法毫无意义）且插入的点所在边的深度尽可能大（其对原图对其它非树边的影响尽可能小）。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int read(){
int x=0,o=1;char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*o;
}
const int N=1e5+5;
const int M=4e5+5;
const int mod=998244353;
const int inf=1e9;
int n,m,k;
int vis[N],dep[N],p[N],out[N],fa[N];
vector<int>q[N];
void bfs(){
int l=0,r=1;p[1]=1;
vis[1]=1;
while(l<r){
int u=p[++l];
for(int i=0;i<q[u].size();++i){
int v=q[u][i];
if(vis[v])continue;
vis[v]=1;
dep[v]=dep[u]+1;
p[++r]=v;
++out[u];
fa[v]=u;
}
}
}
int main(){
n=read();m=read();k=read();
for(int i=1;i<=m;++i){
int u=read(),v=read();
q[u].push_back(v);
q[v].push_back(u);
}
bfs();
ll ans=1;
for(int u=2;u<=n;++u){
if(!vis[u]||dep[u]>k)continue;
int cnt=0;
for(int i=0;i<q[u].size();++i){
int v=q[u][i];
if(fa[v]==u||fa[u]==v)continue;
++cnt;
}
if(!out[u])cnt=max(cnt,1);
ans+=1ll*(k-dep[u])*cnt+1ll;
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int read(){
int x=0,o=1;char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*o;
}
const int N=1e5+5;
const int M=4e5+5;
const int mod=998244353;
const ll inf=1e18;
int a[N],b[N],c[N];
int fa[N],fb[N],fc[N];
int abc[N],bca[N],cab[N];
int disa[N],disb[N],disc[N];
ll A[5],B[5];
int lena,lenb,lenc;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return d;
}
ll ex_intchina(){
ll ans=A[1],M=B[1];
for(int i=2;i<=3;i++){
ll c=((A[i]-ans)%B[i]+B[i])%B[i];
ll x,y,gcd=exgcd(M,B[i],x,y);
if(c%gcd!=0)return -1;
x=x*(c/gcd);//quickmul(x,c/gcd,b[i]);当前第i个方程的解
ans+=x*M;//更新前i个方程组的解ans
M*=B[i]/gcd;//更新M(所有模数的最小公倍数)
ans=(ans%M+M)%M;
}
return ans;
}
ll solve(int x,int y,int z){
A[1]=disa[x];B[1]=lena;
A[2]=disb[y];B[2]=lenb;
A[3]=disc[z];B[3]=lenc;
if(A[1]==-1||A[2]==-1||A[3]==-1)return inf;
ll now=ex_intchina();
if(now==-1)return inf;
else return now;
}
int main(){
int n=read();
for(int i=1;i<=n;++i)a[i]=read(),fa[a[i]]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)b[i]=read(),fb[b[i]]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)c[i]=read(),fc[c[i]]=i;
for(int i=1;i<=n;++i)abc[i]=a[b[c[i]]];
for(int i=1;i<=n;++i)bca[i]=b[c[a[i]]];
for(int i=1;i<=n;++i)cab[i]=c[a[b[i]]];
memset(disa,-1,sizeof(disa));
memset(disb,-1,sizeof(disb));
memset(disc,-1,sizeof(disc));
lena=0,lenb=0,lenc=0;
for(int i=1;disa[i]==-1;i=abc[i]){
disa[i]=lena;
++lena;
}
for(int i=1;disb[i]==-1;i=bca[i]){
disb[i]=lenb;
++lenb;
}
for(int i=1;disc[i]==-1;i=cab[i]){
disc[i]=lenc;
++lenc;
}
//cout<<lena<<" "<<lenb<<" "<<lenc<<endl;
int q=read();
while(q--){
int x=read(),y=read(),z=read();
ll ans1=solve(x,y,z);
//cout<<ans1<<" ";
ll ans2=solve(fc[z],fa[x],fb[y]);
//cout<<ans2<<" ";
ll ans3=solve(fc[fb[y]],fa[fc[z]],fb[fa[x]]);
//cout<<ans3<<endl;
ll ans=min(3ll*ans1,min(3ll*ans2+1ll,3ll*ans3+2ll));
if(ans>=inf)cout<<"-1"<<endl;
else cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
题意:给两个容积分别为 A,B 的水杯，每次可以执行以下的四种操作之一：把其中一个水杯装满水。把其中一个水杯中的全部水倒掉。把其中一个水杯中现有的水全部喝完。把一个杯子中的水尽可能转移到另一个水杯中，水不溢出。求喝掉恰好 x 体积的水，最少要操作几次。
分析：记 \((r,s) = rA + sB\)，则两个杯子中的水和喝掉的水在任意时刻都能表示成 (r,s) 的形式，因此x不能被\(gcd(A,B)\)整除时无解，否则答案为\(max(2(r_0 + s_0), 2|r_0 − s_0| − 1)\)，其中\(r_0,s_0\)满足\(r_0A+s_0B=x\)。运用exgcd求出\((r,s)\)的特解然后移动到原点附近求上述式子的最小值即可。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int read(){
int x=0,o=1;char ch=getchar();
while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*o;
}
const int N=1e5+5;
const int M=4e5+5;
const int mod=998244353;
const ll inf=1e18;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
if(b==0){x=1;y=0;return a;}
ll d=exgcd(b,a%b,y,x);
y-=x*(a/b);
return d;
}
int main(){
int T=read();
while(T--){
ll A,B,x;cin>>A>>B>>x;
ll x0,y0,d;
d=exgcd(A,B,x0,y0);
if(x%d!=0){
cout<<"-1"<<endl;
continue;
}
ll x1=x0*(x/d),y1=y0*(x/d);//一组特解
A/=d;B/=d;
ll ans=inf;
ll k0=-(x1/B);
for(ll k=k0-1;k<=k0+1;++k){
ll r=x1+k*B,s=y1-k*A;
if(r>=0&&s>=0)ans=min(ans,2*(r+s));
else ans=min(ans,2*(abs(r)+abs(s))-1);
}
k0=(y1/A);
for(ll k=k0-1;k<=k0+1;++k){
ll r=x1+k*B,s=y1-k*A;
if(r>=0&&s>=0)ans=min(ans,2*(r+s));
else ans=min(ans,2*(abs(r)+abs(s))-1);
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
