题意：给出\(n(n<=1000)\)个圆，每个圆给出圆心坐标\((x,y)\)和半径\(r\)，求它们的面积并。
分析：本题用辛普森积分，精度eps开小会T一个点，开大会WA一个点；如果用上文中提到的自适应辛普森就会T很多点，因此这种方法时间复杂度不明确，取决于精度和数据强度。辛普森积分之前可以把完全被覆盖的圆先预处理出去。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read() {
char ch = getchar(); int x = 0, f = 1;
while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while ('0' <= ch && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}
const int N = 1e3 + 5;
const int M = 1e5 + 5;
const double eps=1e-8;
int n,bj[N];
struct Cir{int x,y,r;}p[N];
struct Line{double l,r;}S[N];
inline bool cmp_Cir(Cir a,Cir b){
return a.r<b.r;
}
inline bool cmp_Line(Line a,Line b){
return a.l<b.l;
}
inline int cmp(double x){
if (x<=eps&&x>=-eps) return 0;
return (x>0)?1:-1;
}
inline double Sqr(double x){return x*x;}
inline double f(double x){//找到横坐标x处在圆内线段长度
int top=0;
for(int i=1;i<=n;++i)
if(p[i].x-p[i].r<=x&&x<=p[i].x+p[i].r){//横坐标在这个圆里面
double len=sqrt(Sqr(p[i].r)-Sqr(fabs(p[i].x-x)));//勾股定理
//圆内线段加一，记录线段两个端点
S[++top]=(Line){p[i].y-len,p[i].y+len};
}
sort(S+1,S+top+1,cmp_Line);//按照线段的下界从小到大排序
double ret=0,l=-1e9,r=-1e9;
//计算出线段长度之和，注意两个线段 部分覆盖和完全不重合 的情况讨论
for(int i=1;i<=top;++i)
if(S[i].l-r>eps)ret+=r-l,l=S[i].l,r=S[i].r;
else if(S[i].r-r>eps)r=S[i].r;
return ret+r-l;
}
inline double Simpson(double l,double r){return (r-l)*(f(l)+f(r)+4.0*f((l+r)/2.0))/6.0;}//辛普森积分公式
inline double asr(double l,double r,double val){
double mid=(l+r)/2.0;
double lval=Simpson(l,mid),rval=Simpson(mid,r);//分别算出左半部分和右半部分
//如果分成两本和整体运算的结果 相差不大就可以认定为答案
if(cmp(lval+rval-val)==0){return val;}
else return asr(l,mid,lval)+asr(mid,r,rval);//否则继续二分递归
}
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i){
p[i].x=read();
p[i].y=read();
p[i].r=read();
}
//找到左右边界，相当于函数f(x)的定义域
int l=1e9,r=-1e9;
for(int i=1;i<=n;++i)l=min(l,p[i].x-p[i].r);
for(int i=1;i<=n;++i)r=max(r,p[i].x+p[i].r);
sort(p+1,p+n+1,cmp_Cir);//按照圆的半径从小到大排序
for (int i=1;i<=n;++i)//标记为1，说明这个圆完全被后面半径更大的某个圆覆盖了
for (int j=i+1;j<=n;++j){
if (cmp(sqrt(Sqr(p[i].x-p[j].x)+Sqr(p[i].y-p[j].y))+p[i].r-p[j].r)<=0){
bj[i]=1;
break;
}
}
int m=0;
for(int i=1;i<=n;++i)if(!bj[i])p[++m]=p[i];
n=m;
double ans=asr(l*1.0,r*1.0,Simpson(l,r));
printf("%.3lf\n",ans);
return 0;
}
分析：难得高数微积分知识还能派上用场，时间复杂度\(O(n^2logn)\)。
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read() {
char ch = getchar(); int x = 0, f = 1;
while (ch < '0' || ch>'9') { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
while ('0' <= ch && ch <= '9') { x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar(); }
return x * f;
}
int n;
const int N=1005;
const double Pi=acos(-1.0);
struct Point{
int x,y;
inline Point(){}
inline Point(int xx,int yy):x(xx),y(yy){}
inline Point operator +(const Point &b)const{return Point(x+b.x,y+b.y);}
inline Point operator -(const Point &b)const{return Point(x-b.x,y-b.y);}
inline bool operator <(const Point &b)const{return x<b.x||(x==b.x&&y<b.y);}
inline bool operator ==(const Point &b)const{return x==b.x&&y==b.y;}
};
struct Cir{
Point p;int r;
inline bool operator <(const Cir &b)const{return p<b.p||p==b.p&&r<b.r;}
inline bool operator ==(const Cir &b)const{return p==b.p&&r==b.r;}
}c[N];
pair<double,int>st[N<<1];
inline double calc(double r,double x,double y,double t1,double t2){
return r*(r*(t2-t1)+x*(sin(t2)-sin(t1))-y*(cos(t2)-cos(t1)));
}
//对于第id个圆，计算它的贡献
double solve(int id){
int top=0,cnt=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
if(i!=id){
double dis=sqrt((c[i].p.x-c[id].p.x)*(c[i].p.x-c[id].p.x)+(c[i].p.y-c[id].p.y)*(c[i].p.y-c[id].p.y));
if(c[id].r+dis<=c[i].r)return 0;//被后面半径更大的圆i完全覆盖
//完全覆盖了圆i或者与圆i完全不相交，这样都不会对圆弧轮廓产生影响
if(c[i].r+dis<=c[id].r||c[i].r+c[id].r<=dis)continue;
double del=acos((c[id].r*c[id].r+dis*dis-c[i].r*c[i].r)/(2*c[id].r*dis));//余弦定理，建议画图
double ang=atan2(c[i].p.y-c[id].p.y,c[i].p.x-c[id].p.x);
double l=ang-del,r=ang+del;
if(l<-Pi)l+=2*Pi;if(r>=Pi)r-=2*Pi;//保证角度在-pi到pi之间
if(l>r)++cnt;
st[++top]=make_pair(l,1),st[++top]=make_pair(r,-1);
}
}
st[0]=make_pair(-Pi,0),st[++top]=make_pair(Pi,0);
sort(st+1,st+1+top);
double res=0;
for(int i=1;i<=top;cnt+=st[i++].second)
if(!cnt)res+=calc(c[id].r,c[id].p.x,c[id].p.y,st[i-1].first,st[i].first);//公式
return res;
}
int main(){
n=read();
for(int i=1;i<=n;++i){
c[i].p.x=read();
c[i].p.y=read();
c[i].r=read();
}
sort(c+1,c+1+n);//按照横坐标、纵坐标、半径的优先级从小到大排序
n=unique(c+1,c+1+n)-c-1;//去掉完全相同的圆
double ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i)ans+=solve(i);
printf("%.3lf\n",ans*0.5);
return 0;
}
