[SDOI2009]Elaxia的路线

洛咕

给定一张\(n\)个点\(m\)条边的无向图,求两对点(\(s_1,t_1,s_2,t_2\))间最短路的最长公共路径.\(n<=1500.\)

分析:当作一道模板题来学习的.

求最短路的公共路径,我们肯定需要先知道哪些边在最短路上.这个我们以四个点为起点分别跑一次\(spfa\).举个例子,设\(diss[i]\)表示\(s\)到\(i\)的最短路,\(dist[i]\)表示\(t\)到\(i\)的最短路,然后枚举一条边\((u,v)\),如果满足\(diss[u]+w(u,v)+dist[v]=diss[t]\),则这条边在\(s\)到\(t\)的最短路上.

因为题目是要求最短路上的公共路径,所以我们要同时判断这两对点,如果都满足上式,则这条边就在最短路的公共路径上,如果只满足\(s1,t1\),就不会产生贡献.我们把这两种边都当作有向边建一个新图,在新图上跑拓扑排序.设\(f[i]\)表示已经处理节点\(i\)所有前驱节点后所得到的最长公共路径,\(f[v]=max(f[v],f[u]+bj[i]*w[i])\).其中第\(i\)条边表示\(u->v\)的有向边,\(bj[i]\)标记第i条边是否在最短路的公共路径上.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,o=1;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;
}
const int N=2005;
const int M=4000005;
int n,m,s[5],visit[N],dis[5][N],deg[N],f[N];
int tot,head[N],from[M],nxt[M],to[M],w[M];
int Tot,Head[N],bj[M],Nxt[M],To[M],W[M];
inline void add(int a,int b,int c){
	nxt[++tot]=head[a];head[a]=tot;
	to[tot]=b;w[tot]=c;from[tot]=a;
}
inline void Add(int a,int b,int c,int d){
	Nxt[++Tot]=Head[a];Head[a]=Tot;
	To[Tot]=b;W[Tot]=c;bj[Tot]=d;
}
inline void spfa(){//四次spfa,模板就不解释了
	memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
	for(int k=1;k<=4;++k){
		memset(visit,0,sizeof(visit));
		queue<int>q;q.push(s[k]);
		visit[s[k]]=1;dis[k][s[k]]=0;
		while(q.size()){
			int u=q.front();q.pop();visit[u]=0;
			for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
				int v=to[i];
				if(dis[k][v]>dis[k][u]+w[i]){
					dis[k][v]=dis[k][u]+w[i];
					if(!visit[v])q.push(v),visit[v]=1;
				}
			}
		}
	}
}
inline void build(){//重新建图
	for(int i=1;i<=tot;++i){
		int u=from[i],v=to[i];
		if(dis[1][u]+w[i]+dis[2][v]==dis[1][s[2]]){//满足在s1到t1的最短路上
//如果同时也满足在s2到t2的最短路上,就标记为是公共路径,加入新图
			if(dis[3][u]+w[i]+dis[4][v]==dis[3][s[4]]||dis[4][u]+w[i]+dis[3][v]==dis[4][s[3]])Add(u,v,w[i],1);
			else Add(u,v,w[i],0);//否则标记为不是公共路径
			++deg[v];//记录入度
		}
	}
}
inline void topsort(){//拓扑排序的模板
	queue<int>q;
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!deg[i])q.push(i);
	while(q.size()){
		int u=q.front();q.pop();
		for(int i=Head[u];i;i=Nxt[i]){
			int v=To[i];--deg[v];
			f[v]=max(f[v],f[u]+bj[i]*W[i]);//更新
			if(!deg[v])q.push(v);
		}
	}
	printf("%d\n",f[s[2]]);
}
int main(){
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=4;++i)s[i]=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int a=read(),b=read(),c=read();
		add(a,b,c);add(b,a,c);
	}
	spfa();build();topsort();
    return 0;
}