关押罪犯

洛咕

题意:\(S\)城现有两座监狱，一共关押着$N $名罪犯，编号分别为\(1-N\).他们之间的关系自然也极不和谐。很多罪犯之间甚至积怨已久，如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。我们用“怨气值”（一个正整数值）来表示某两名罪犯之间的仇恨程度，怨气值越大，则这两名罪犯之间的积怨越多。如果两名怨气值为c的罪犯被关押在同一监狱，他们俩之间会发生摩擦，并造成影响力为c的冲突事件。每年年末，警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表，然后上报到S 城Z 市长那里。公务繁忙的Z 市长只会去看列表中的第一个事件的影响力，如果影响很坏，他就会考虑撤换警察局长。在详细考察了\(N\) 名罪犯间的矛盾关系后，警察局长觉得压力巨大。他准备将罪犯们在两座监狱内重新分配，以求产生的冲突事件影响力都较小，从而保住自己的乌纱帽。假设只要处于同一监狱内的某两个罪犯间有仇恨，那么他们一定会在每年的某个时候发生摩擦。那么，应如何分配罪犯，才能使Z 市长看到的那个冲突事件的影响力最小？这个最小值是多少？\(N<=20000,M<=100000.\)

分析:

方法一:扩展域并查集,扩展域相当于把一个节点拆成两个节点,一个是本身所在的监狱,一个是敌人所在的监狱,分别设为\(1-n\)和\(n+1-2*n\).然后将关系按照矛盾值从大到小排序,扫描一遍,如果在同一个集合,直接输出,不在同一个集合,将自己与敌人的敌人所在的集合合并.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,o=1;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;
}
const int N=100005;
int fa[N];
struct ppx{
	int x,y,z;
	bool operator <(const ppx &x)const{
		return z>x.z;
	}
}a[N];
inline int get(int x){
	if(x==fa[x])return x;
	return fa[x]=get(fa[x]);
}
int main(){
	int n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		a[i].x=read();a[i].y=read();a[i].z=read();
	}
	sort(a+1,a+m+1);//从大到小排序
	for(int i=1;i<=2*n;++i)fa[i]=i;//初始化
	for(int i=1;i<=m;++i){
		int x=get(a[i].x),y=get(a[i].y);
		int xx=get(a[i].x+n),yy=get(a[i].y+n);
		if(x==y){//产生矛盾,直接输出
			printf("%d\n",a[i].z);
			return 0;
		}
		fa[x]=yy;fa[y]=xx;//敌人的敌人可能是朋友
	}
	puts("0");
    return 0;
}

方法二:二分答案+二分图

直接二分答案最小矛盾值\(mid\),然后把矛盾值大于\(mid\)的连无向边,在图上判断是否是二分图即可.

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<map>
#include<set>
#define ll long long
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,o=1;char ch=getchar();
    while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9'))ch=getchar();
    if(ch=='-')o=-1,ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*o;
}
const int N=200005;
int n,m,l,r,ans;
int a[N],b[N],c[N],visit[N];
int tot,head[N],nxt[N],to[N];
inline void add(int x,int y){
	nxt[++tot]=head[x];head[x]=tot;to[tot]=y;
	nxt[++tot]=head[y];head[y]=tot;to[tot]=x;
}
inline bool dfs(int x,int color){
    visit[x]=color;
    for(int i=head[x];i;i=nxt[i]){
        int y=to[i];
        if(visit[y]==color)return 0;
        if(!visit[y]&&!dfs(y,3-color))return 0;
    }
    return 1;
}
inline bool check(int mid){
	tot=0;memset(head,0,sizeof(head));
	memset(visit,0,sizeof(visit));
	for(int i=1;i<=m;++i)if(c[i]>mid)add(a[i],b[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i)if(!visit[i]&&!dfs(i,1))return 0;
    return 1;
}
int main(){
	n=read(),m=read();
	for(int i=1;i<=m;++i){
		a[i]=read(),b[i]=read(),c[i]=read();
		r=max(r,c[i]);
	}
	while(l<=r){
		int mid=(l+r)>>1;
		if(check(mid)){
			ans=mid;
			r=mid-1;
		}
		else l=mid+1;
	}
	printf("%d\n",ans);
    return 0;
}