[APIO2010]特别行动队

洛咕

题意:\(N(N<=1000000)\)个士兵,每个士兵的战斗值为\(x_i\),将士兵分成若干批,设每一批的战斗值之和为t,每一批的战斗力\(x'=at^2+bt+c\),a(保证负数),b,c均为给定常数,求最大战斗力.

设\(f[i]\)表示将前i个士兵分成若干批的最大战斗力,则有\(f[i]=f[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c\)

设\(k<j\)且j比k更优,即

\(f[j]+a(sum[i]-sum[j])^2+b(sum[i]-sum[j])+c>f[k]+a(sum[i]-sum[k])^2+b(sum[i]-sum[k])+c\)

整理一下上式得到,

\(\frac{f[j]+sum[j]^2-f[k]-sum[k]^2}{sum[j]-sum[k]}>2asum[i]+b\)

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
inline int read(){
    int s=0,w=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){s=s*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return s*w;
}
const int N=1000005;
int n,a,b,c,l,r,q[N];LL sum[N],f[N];
inline double check(int x,int y){return 1.0*(f[x]+a*sum[x]*sum[x]-b*sum[x]-f[y]-a*sum[y]*sum[y]+b*sum[y])/(sum[x]-sum[y]);}
int main(){
    n=read(),a=read(),b=read(),c=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){int x=read();sum[i]=sum[i-1]+x;}
    for(int i=1;i<=n;i++){
		while(l<r&&check(q[l+1],q[l])>=2*a*sum[i])l++;
		f[i]=f[q[l]]+a*(sum[i]-sum[q[l]])*(sum[i]-sum[q[l]])+b*(sum[i]-sum[q[l]])+c;
		while(l<r&&check(q[r],q[r-1])<=check(i,q[r]))r--;
		q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",f[n]);
    return 0;
}