中国剩余定理(学习笔记)

定义:若m\(_1\),m\(_2\) \(\cdots\)m\(_n\)是两两互质的正整数，M= \(\prod_{i=1}^n{m_i}\)，M\(_i\)=M/m\(_i\),t\(_i\)是线性同余方程M\(_i\)t\(_i\)≡1（mod m\(_i\)）的一个解.对于任意的n个整数a\(_1\)，a\(_2\) \(\cdots\) a\(_n\)，则同余方程组：

\[\begin{cases}x≡a_1(mod)m_1\\x≡a_2(mod)m_2\\ \cdots \cdots\\x≡a_n(mod)m_n\\\end{cases} \]

有整数解，方程组的解为x=a\(_1\)M\(_1\)t\(_1\)+a\(_2\)M\(_2\)t\(_2\)+ \(\cdots\) +a\(_n\)M\(_n\)t\(_n\).并且在\(\mod M\)意义下有唯一解.

证明：因为M\(_i\)=M/m\(_i\)是除m\(_i\)之外所有模数的倍数，所以\(\forall\)k\(\not=\)i，a\(_i\)M\(_i\)t\(_i\)≡0(mod m\(_k\)).又因为a\(_i\)M\(_i\)t\(_i\)≡a\(_i\)(mod m\(_i\))，所以代入\(x=\sum_{i=1}^{n}{a_iM_it_i}\),成立.

结论:中国剩余定理给出了模数两两互质的线性同余方程组的一个特殊解.方程组的通解可以表示为x+kM(k∈Z).有些题目要求我们求出最小的非负整数解，只需把x对M取模，并让x落在0~M-1的范围内即可.

因为条件中有t\(_i\)是线性同余方程M\(_i\)t\(_i\)≡1（mod m\(_i\)）的一个解,所以学习中国剩余定理之前需要学习如何求解线性同余方程,不得不要的广告.

直接来一道模板题,曹冲养猪

#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
LL n,M=1;
LL a[15],b[15];
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
    if(b==0){x=1;y=0;return a;}
    LL d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=x*(a/b);
    return d;
}
void Intchina(){
    LL x,y,ans=0;
    for(LL i=1;i<=n;i++){
		LL Mi=M/a[i];
		exgcd(Mi,a[i],x,y);
		ans=((ans+Mi*x*b[i])%M+M)%M;
    }
    printf("%lld\n",ans);
}
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%lld%lld",&a[i],&b[i]);
		M*=a[i];
    }
    Intchina();
    return 0;
}