选课(背包类树形DP)

传送门

题意:有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课(若课程a是课程b的先修课则只有学了课程a，才能学习课程b),从这些课程里选择M门课程学习，求能获得的最大学分？

分析:因为每门课的直接先修课最多只有一门,相当于树中每个节点最多只有一个父节点.因为可能有多门课没有先修课,所以这N门课程构成了一片森林.因为森林结构不方便处理,我们建立一个0号节点作为虚拟课程,表示所有实际上没有先修课的课程的先修课,于是N个节点的森林变成了N+1个节点的有根树,其中0号节点是根节点.

既然树形结构已经构建出来了,题目又是要求最优解,应该不难想到树形DP.设f[x][j]表示在以x为根的子树中选j门课能够获得的最大学分(提醒一下,这里x也视作以x为根的树上的子节点).

设x一共有p个子节点,修完x这门课后,对于x的每个子节点y,我们可以在以y为根节点的子树中选修ci门课,满足\((\sum_{i=1}^{p}c[i])=j-1\).

当j=0时,显然有f[x][0]=0.

当j>0时,\(f[x][j]=(max{\sum_{i=1}^{p}[yi][ci]})+s[x]\),其中\((\sum_{i=1}^{p}c[i])=j-1\).

int n,m;
int s[305],f[305][305];
vector<int> q[305];
//从根节点0开始DFS遍历直到叶节点,
//然后从叶节点层层向上更新信息,这是一般树形DP的套路
void dfs(int x){
    f[x][0]=0;//初始化
    for(int i=0;i<q[x].size();i++){
		int y=q[x][i];
//y是x的子节点,即学了x才能学y
		dfs(y);//层层DFS下去
		for(int j=m;j>=0;j--)//在以x为根节点的树上学j门课程
	    for(int k=j;k>=0;k--)//在x的当前子树y上学k门
			f[x][j]=max(f[x][j],f[x][j-k]+f[y][k]);
    }
    if(x!=0){//x不为0时,选修x本身占用了1门课
		for(int j=m;j>=1;j--)
	    	f[x][j]=f[x][j-1]+s[x];
    }
}
int main(){
    n=read();m=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
		int k=read();s[i]=read();
		q[k].push_back(i);//便于DFS建树
    }
    for(int i=0;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=m;j++)
	    	f[i][j]=-1e9;
//求最大值,初值赋为无穷小
    dfs(0);
    printf("%d\n",f[0][m]);
    return 0;
}