[USACO 2001 OPEN]地震(分数规划+最小生成树)

传送门

题意:N个牧场，可供修建的道路有M条.奶牛负责修建道路，将所有牧场连通,获得报酬F.每条道路都有自己的施工时间ti和建造成本ci.连接两个相同的牧场的道路可能有多条.保证所有的牧场必定是可连通的，不过也有可能一些道路的建造成本之和会超过F.求选择修建哪些道路,使单位时间的利润(即总利润和总施工时间的比值)的最大.

分析:理解清楚题意,可以得出我们要求的实际上就是\((F-\sum{c_i})/\sum{t_i}\)

令\(x=(F-\sum{c_i})/\sum{t_i}\)

整理一下得,\(F-(\sum{c_i}+\sum{t_i}*x)=0\)

令\(f(x)=F-(\sum{c_i}+\sum{t_i}*x)\)

f(x)随x增大而减小,即f(x)是一个递减函数,既然具有单调性,就要想到二分答案.

我们直接二分要求的答案x,每一次check时把每条边的边权wi更新为\(ci+ti*x\),然后跑一遍最小生成树,最后判断权值总和与F的大小关系.

注意本题是实数域上的二分答案

const double eps=1e-6;
//题目要求保留4位小数,精度可以设为1e-(4+2)
int n,m,f,fa[405];
struct edge{
    int x,y,c,t;
    double w;//注意边权是实数
}e[10005];
bool cmp(edge x,edge y){return x.w<y.w;}
int find(int x){
    if(fa[x]==x)return x;
    return fa[x]=find(fa[x]);
}
bool check(double mid){
    for(int i=1;i<=m;i++)
		e[i].w=e[i].c*1.0+e[i].t*mid;
//每一次check时,根据mid值更新边权
//kruskal跑最小生成树:
    sort(e+1,e+m+1,cmp);
    for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
    int k=0;double now=0;
    for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=find(e[i].x),y=find(e[i].y);
		if(x!=y){
	    	k++;
	    	fa[y]=x;
	    	now+=e[i].w;
	    	if(now>f)return 0;
	    	if(k==n-1)break;
		}
    }
    return 1;
}
int main(){
    n=read();m=read();f=read();
    for(int i=1;i<=m;i++){
		e[i].x=read();
		e[i].y=read();
		e[i].c=read();
		e[i].t=read();
    }
    double l=-1e9,r=1e9,mid;
//注意一下二分边界,因为可能出现利润为负数的情况
    while(l+eps<r){//实数域上的二分答案模板
        mid=(l+r)/2;
        if(check(mid))l=mid;
        else r=mid;
    }
    if(r<0)puts("0.0000");//如果利润为负数
    else printf("%.4lf\n",r);
    return 0;
}