质数(学习笔记)

质数的判定（时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)）

bool is_prime(int n){
	for(int i=2;i*i<=n;i++)
      if(n%i==0) return false;
    return true;
}

质数的筛选

给定一个整数N,求出1~N之间的所有质数,称为质数的筛选问题.

Eratosthenes筛选法(时间复杂度O(N))

基本思想:质数的倍数一定不是质数;

void primes(int n){
	memset(v,0,sizeof(v)); //先假设全都是质数
	for(int i=2;i<=n;i++){
    	if(v[i]) continue; //如果v[i]=1,i是合数
        cout<<i<<endl;
        for(int j=i;j<=n/i;j++) v[i*j]=1;
    }
}

线性筛法(一定掌握这个)

基本思想:我们在生成一个需要标记的合数时,每次向现有的数乘上一个质因子,并且让它是这个合数的最小质因子.

v数组记录每个数的最小质因子;

int v[N],prime[N];
void primes(int n){
	memset(v,0,sizeof(v));
    int m=0;           //统计质数数量
    for(int i=2;i<=n;i++){
    	if(v[i]==0){   //i是质数
        	v[i]=i;
            prime[++m]=i;
        }
        for(int j=1;j<=m;j++){
        	if(prime[j]>v[i]||prime[j]>n/i) 
            	break;
          //i有比prime[j]更小的质因子,或者超出n的范围
            v[i*prime[j]]=prime[j];
          //prime[j]是合数i*prime[j]的最小质因子
        }
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
      cout<<prime[i]<<endl;
}

质因数分解

算术基本定理：任何一个大于1的正整数都能唯一分解为有限个质数的乘积，可写作：\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m}\)(其中ci都是正整数,pi都是质数,且满足p1<p2<p3……<pm)

void divide(int n){
	int m=0;//m记录正整数n的质因数的个数
    for(int i=2;i*i<=n;i++){
    	if(n%i==0){    //i是质数
        	p[++m]=i;  //p[]数组记录质因数
            c[m]=0;    //c[]数组记录质因数的幂
            while(n%i==0){
            	n=n/i;
                c[m]++;
            }
        }
    }
    if(n>1){ //最后如果n不等于1,它一定是个质数
    	p[++m]=n;
        c[m]=1;
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
      cout<<p[i]<<'^'<<c[i]<<endl;
}

算术基本定理：\(N=p_1^{c_1}p_2^{c_2}…p_m^{c_m}\)

算数基本定理的推论:

N的正约数集合可写作:\({p_1^{b_1}p_2^{b_2}…p_m^{b_m}}\)，其中0<=bi<=ci.

N的正约数个数为:\((c_1+1)*(c_2+1)*...*(c_m+1)=\prod_{i=1}^m(c_i+1)\)

N的所有正约数的和为:\((1+p_1+p_1^2+...+p_1^{c_1})*...*(1+p_m+p_m^2+...+p_m^{c_m})\),等价于\(\prod_{i=1}^m(\sum_{j=0}^{c_i}(p_i)^j)\)