[ZJOI2011] 最小割
一、前言
最小割树练习板题，浓度更纯的板题就不写题解了吧，虽然都挺板的。
注意本博客只讲方法不讲证明，原因下面有。
二、题目
三、讲解
（一）、坑点
首先注意到这件事：
在两组测试数据之间需要输出一行空行。
然后我们开始讲。
（二）、科技：最小割树
这小标题有种3A大作的感觉。
首先我们要定义无向图中两个点的最小割：使得它们不连通要割的边的最小权值和。
存在这么一棵带边权的树：点与点之间路径上权值的最小值为这两个点在原图中的最小割，我们称这棵树为最小割树。
构造方法是每次随便挑两个点作为源汇点跑最小割，然后连树边，权值就是这个最小割，把源汇点两边的点分别递归下去做，可以发现要跑 \(O(n)\) 次网络流，一般来说时间的瓶颈就在这里。
至于为啥存在这样一棵树，以及为啥这样构造，这样构造为啥是对的？一律不解释，问就是懒。
想了解可以看2016年的集训队论文《浅谈无向图最小割问题的一些算法和应用》，应该比我讲得更权威更清楚。没想到吧，这就是我偷懒的借口！
既然建树的复杂度都这么高了，往往询问都可以直接在这棵树上暴力做，因此题目都比较板。
（三）、正题
建出最小割树之后，求出两两之间最小割，然后每次询问 \(O(n^2)\) 回答即可。
时间复杂度 \(O(n^3m+qn^2)\)。
四、代码
//12252024832524
#include <bits/stdc++.h>
#define TT template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 155;
const int MAXM = 3005;
const LL INF = 1ll << 60;
int n,m;
LL Read()
{
LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
int head[MAXN],tot = 1;
struct edge
{
int v,w,nxt;
}e[MAXM<<1];
void Add_Edge(int u,int v,int w)
{
e[++tot] = edge{v,w,head[u]};
head[u] = tot;
}
void Add_Double_Edge(int u,int v,int w)
{
Add_Edge(u,v,w);
Add_Edge(v,u,w);
}
int dis[MAXN],cur[MAXN];
bool bfs(int S,int T)
{
for(int i = 1;i <= n;++ i) dis[i] = n+1;
queue<int> q; q.push(S); dis[S] = 0;
while(!q.empty())
{
int x = q.front(); q.pop();
// printf("bfs %d %d %d\n",x,S,T);
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(e[i].w && dis[x]+1 < dis[v = e[i].v]) dis[v] = dis[x]+1,q.push(v);
}
return dis[T] <= n;
}
LL dfs(int x,LL flow,int T)
{
if(x == T) return flow;
LL ret = 0;
for(int &i = cur[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(dis[x]+1 == dis[v = e[i].v] && e[i].w)
{
LL dz = dfs(v,Min(0ll+e[i].w,flow-ret),T);
e[i].w -= dz; e[i^1].w += dz;
if((ret += dz) == flow) break;
}
return ret;
}
LL dinic(int S,int T)
{
for(int i = 2;i <= tot;i += 2) e[i^1].w = e[i].w = (0ll + e[i].w + e[i^1].w) >> 1;
LL ret = 0;
while(bfs(S,T))
{
for(int i = 1;i <= n;++ i) cur[i] = head[i];
ret += dfs(S,INF,T);
}
return ret;
}
vector<pair<int,LL> > G[MAXN];
int ID[MAXN];
bool vis[MAXN];
void findp(int x)
{
vis[x] = 1;
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(e[i].w && !vis[v = e[i].v])
findp(v);
}
void solve(int l,int r)
{
if(l >= r) return;
LL mf = dinic(ID[l],ID[l+1]);
G[ID[l]].emplace_back(make_pair(ID[l+1],mf));
G[ID[l+1]].emplace_back(make_pair(ID[l],mf));
for(int i = 1;i <= n;++ i) vis[i] = 0;
findp(ID[l]);
sort(ID+l,ID+r+1,[](int x,int y){return vis[x] < vis[y];});
for(int i = l;i <= r;++ i)
if(vis[ID[i]]) {solve(l,i-1);solve(i,r);break;}
}
int rt;
LL cut[MAXN][MAXN];
void dfs2(int x,int fa,LL d)
{
cut[rt][x] = d;
for(auto &A : G[x])
if(A.first != fa)
dfs2(A.first,x,Min(d,A.second));
}
int main()
{
// freopen("10.in","r",stdin);
// freopen("mine.out","w",stdout);
for(int T = Read(); T ;-- T)
{
n = Read(); m = Read(); tot = 1;
for(int i = 1;i <= n;++ i) head[i] = 0,G[i].clear(),ID[i] = i;
for(int i = 1,u,v;i <= m;++ i) u = Read(),v = Read(),Add_Double_Edge(u,v,Read());
solve(1,n);
for(int i = 1;i <= n;++ i) rt = i,dfs2(i,0,INF);
for(int Q = Read(); Q ;-- Q)
{
LL val = Read(),ans = 0;
for(int i = 1;i <= n;++ i)
for(int j = i+1;j <= n;++ j)
if(cut[i][j] <= val) ++ans;
Put(ans,'\n');
}
putchar('\n');
}
return 0;
}
