[20220210联考] 传染
前言
先膜卷爷。
题目
可以去卷爷那里看，或者看我的，注意时限是 \(3s\)。
希尔科试图用微光控制祖安，祖安的地图可以视为一棵树，根据交通的便利程度，祖安的每个小城市有一个传播半径 \(r_i\)，一旦微光弥散到此城市，那么微光也会扩散到与它距离不超过 \(r_i\) 的城市。
当然我们会给出 \(n-1\) 条路径及其长度 \(d_i\)，希尔科想知道自己最少用微光控制多少城市便可以控制整个祖安。
因为金克斯忙着炸皮城，所以这个任务就交给你了。
\(1\le n\le 3\times 10^5;0\le r_i,d_i\le 10^9.\)
讲解
我们把微光从一个城市扩散至另一个城市称为感染。
我们可以将问题转化为将每个点与它能够感染的城市连边，然后缩点，入度为 \(0\) 的点的个数即为答案，但很可惜，这样做时间空间都无法承受。
新技巧：点分治优化建边！
我们对点分治的关键点，把它子树所有点都取出来，拷贝为两份，一份按照它与关键点的距离 \(dis\) 排序，一份按照传播半径减距离 \(rdis\) 排序。
我们接下来要做的就是将 \(rdis\ge dis\) 的点进行连边。
考虑对每一个 \(rdis_i\) 都建一个虚点 \(N_i\)，然后将 \(N_i\) 与 \(N_{i-1}\) 连边，\(N_i\) 与它能到但 \(N_{i-1}\) 不能到的点连边，最后 \(rdis_i\) 对应的点连向 \(N_i\) 即可完成建图优化，思路不难理解，代码实现也比较简单。
总之经过这么神奇的优化之后，点数变为 \(n\log_2n\) 级别，边数大概是 \(3n\log_2 n\) 级别。
最后跑 Tarjan 缩点即可。
因为有排序，所以时间复杂度 \(O(n\log_2^2n)\)，当然你也可以用基排，但是没有必要。
代码
//12252024832524
#include <bits/stdc++.h>
#define TT template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 300005;
int n,N,ans;
int r[MAXN],deg[MAXN*25];
LL Read()
{
LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
int head[MAXN],Head[MAXN*25],tot[2];
struct edge
{
int v,w,nxt;
}e[MAXN<<1];
struct Edge
{
int v,nxt;
}E[MAXN<<6];
void Add_Edge(int x,int y,int z = -1)
{
// if(z < 0) printf("%d %d\n",x,y);
if(z >= 0) e[++tot[0]] = edge{y,z,head[x]},head[x] = tot[0];
else E[++tot[1]] = Edge{y,Head[x]},Head[x] = tot[1];
}
void Add_Double_Edge(int x,int y,int z = -1)
{
Add_Edge(x,y,z);
Add_Edge(y,x,z);
}
bool vis[MAXN];
int rt,siz[MAXN],MAX[MAXN];
void getrt(int x,int fa,int S)
{
siz[x] = 1; MAX[x] = 0;
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(!vis[v = e[i].v] && (v ^ fa))
{
getrt(v,x,S);
siz[x] += siz[v];
MAX[x] = Max(MAX[x],siz[v]);
}
MAX[x] = Max(MAX[x],S-siz[x]);
if(!rt || MAX[x] < MAX[rt]) rt = x;
}
void getsiz(int x,int fa)
{
siz[x] = 1;
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(!vis[v = e[i].v] && (v ^ fa))
{
getsiz(v,x);
siz[x] += siz[v];
}
}
int cnt1,cnt2;
struct node
{
int x,d;
bool operator < (const node &px)const{
return d < px.d;
}
}dis[MAXN],rdis[MAXN];//dis & r-dis
void getdis(int x,int fa,int d)
{
if(d > 1000000000) return;
dis[++cnt1] = node{x,d};
if(r[x] >= d) rdis[++cnt2] = node{x,r[x]-d};
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(((v = e[i].v) ^ fa) && !vis[v])
getdis(v,x,d+e[i].w);
}
void solve(int x)
{
dis[cnt1 = 1] = node{x,0}; rdis[cnt2 = 1] = node{x,r[x]};
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(!vis[v = e[i].v])
getdis(v,x,e[i].w);
sort(dis+1,dis+cnt1+1);
sort(rdis+1,rdis+cnt2+1);
int now = 1,lst = 0;
for(int i = 1;i <= cnt2;++ i)
{
++N;
while(now <= cnt1 && rdis[i].d >= dis[now].d) Add_Edge(N,dis[now++].x);
if(lst) Add_Edge(N,lst);
Add_Edge(rdis[i].x,lst = N);
}
}
void dfs(int x)
{
vis[x] = 1;
getsiz(x,0);
solve(x);
for(int i = head[x],v; i ;i = e[i].nxt)
if(!vis[v = e[i].v])
{
rt = 0; getrt(v,x,siz[v]);
dfs(rt);
}
}
int dfn[MAXN*25],low[MAXN*25],s[MAXN*25],tl,bl[MAXN*25],dfntot,qlt;
bool ins[MAXN*25];
void Tarjan(int x)
{
dfn[x] = low[x] = ++dfntot; ins[s[++tl] = x] = 1;
int v;
for(int i = Head[x]; i ;i = E[i].nxt)
{
v = E[i].v;
if(!dfn[v]) Tarjan(v),low[x] = Min(low[x],low[v]);
else if(ins[v]) low[x] = Min(low[x],dfn[v]);
}
if(dfn[x] == low[x])
{
++qlt;
do
{
ins[v = s[tl--]] = 0;
bl[v] = qlt;
}while(v ^ x);
}
}
int main()
{
// freopen("infect.in","r",stdin);
// freopen("infect.out","w",stdout);
N = n = Read();
for(int i = 1;i <= n;++ i) r[i] = Read();
for(int i = 1,u,v;i < n;++ i) u = Read(),v = Read(),Add_Double_Edge(u,v,Read());
getrt(1,0,n); dfs(rt);
for(int i = 1;i <= N;++ i)
if(!dfn[i]) Tarjan(i);
for(int x = 1;x <= N;++ x)
for(int i = Head[x]; i ;i = E[i].nxt)
if(bl[x] ^ bl[E[i].v])
++deg[bl[E[i].v]];
for(int i = 1;i <= qlt;++ i) if(!deg[i]) ++ans;
Put(ans,'\n');
return 0;
}
后记
其实我有个贪心的做法， 可惜过不了大样例，就不说了。
