[Fdu校赛2012] A Famous Game

前言

dnmd不会入门数学题。

题目

DarkBZOJ

讲解

中间用到了这个公式：\(\sum_{k} C(k,q)\times C(n-k,p-q)=C(n+1,p+1)\)

可以视作左边 \(p\) 个一样，右边 \(q\) 个一样，中间那个(第 \(p+1\) 个)是分割点。

然后直接套贝叶斯公式，\(B_r\) 表示袋子里面有 \(r\) 个红球，\(A\) 表示拿 \(p\) 个球 \(q\) 个是红球。

\[\begin{aligned}P(A|B)P(B)&=P(B|A)P(A)\\P(B_i|A)&=\frac{P(A|B_i)\times P(B_i)}{P(A)}=\frac{P(A|B_i)\times P(B_i)}{\sum{}P(A|B_k)}\\ans &= \sum_{r=0}^n P(B_r|A)\times \frac{r-q}{n-p}\\&=\sum_{r=0}^n\frac{P(A|B_r)\times P(B_r)}{\sum{}P(A|B_k)\times P(B_k)}\times \frac{r-q}{n-p}\\&=\sum_{r=0}^n\frac{\frac{C(r,q)\times C(n-r,p-q)}{C(n,p)}\times \frac{1}{n+1}}{\sum_{k=0}^nP(A|B_k)\times P(B_k)}\times \frac{r-q}{n-p}\\&=\sum_{r=0}^n\frac{\frac{C(r,q)\times C(n-r,p-q)}{C(n,p)}\times \frac{1}{n+1}}{\sum_{k=0}^{n}\frac{C(k,q)\times C(n-k,p-q)}{C(n,p)}\times \frac{1}{n+1}}\times \frac{r-q}{n-p}\\&=\sum_{r=0}^n\frac{C(r,q)\times C(n-r,p-q)}{\sum_{k=0}^{n}C(k,q)\times C(n-k,p-q)}\times \frac{r-q}{n-p}\\&=\sum_{r=0}^n\frac{C(r,q)\times C(n-r,p-q)}{C(n+1,p+1)}\times \frac{r-q}{n-p}\\&=\frac{\sum_{r=0}^n(r-q)\times C(r,q)\times C(n-r,p-q)}{(n-p)\times C(n+1,p+1)}\\&=\frac{\sum_{r=0}^n\frac{r!}{q!(r-q-1)!}\times \frac{(n-r)!}{(p-q)!(n-r-p+q)!}}{\frac{(n+1)!}{(p+1)!(n-p-1)!}}\\&=\frac{(q+1)\sum_{r=0}^n\frac{r!}{(q+1)!(r-q-1)!}\times \frac{(n-r)!}{(p-q)!(n-r-p+q)!}}{(p+2)\frac{(n+1)!}{(p+2)!(n-p-1)!}}\\&=\frac{(q+1)\sum_{r=0}^nC(r,q+1)\times C(n-r,p-q)}{(p+2)C(n+1,p+2)}\\&=\frac{(q+1)C(n+1,p+2)}{(p+2)C(n+1,p+2)}\\&=\frac{q+1}{p+2}\\\end{aligned} \]

放一个草稿就溜~

代码

不会真的有人要看吧

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	while(~scanf("%d %d %d",&n,&p,&q)) printf("Case %d: %.4f\n",++cas,(q+1.0)/(p+2));
	return 0;
}