[CF997C] Sky Full of Stars
前言
T7猎天下第一！
题目
讲解
这种题当然优先考虑容斥。
没有什么思路的时候就直接写暴力式子然后试图优化它。
首先我们先写出至少有一行或一列颜色相同的方案数：
\[2\times \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\times C(n,i)\times 3^{n^2-in+i}
\]
行列等价，所以要乘 \(2\)。
但显然我们算重了既有行颜色相同又有列颜色相同的情况，所以我们要减掉它们，需要减掉的东西可以通过暴力枚举行列颜色相同个数表示出来：
\[\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\times 3\times C(n,i) \times \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1}\times C(n,j) \times 3^{n^2-in-jn+ij}
\]
我们考虑把与 \(j\) 无关的东西提到前面并重新改写一下式子。
\[\sum_{i=1}^n (-1)^{i-1}\times 3\times C(n,i) \times 3^{n^2-in}\times \sum_{j=1}^n (-1)^{j-1}\times C(n,j) \times (3^{i-n})^{j}
\]
后面有幂形式，又有组合数，你想到了什么？
二项式定理！逆向使用！
\[\begin{aligned}
&\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\times 3\times C(n,i) \times 3^{n^2-in}\times \sum_{j=1}^n (-1)^{j}\times C(n,j) \times (3^{i-n})^{j}\\
=&\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\times 3\times C(n,i) \times 3^{n^2-in}\times \sum_{j=1}^n C(n,j) \times (-3^{i-n})^{j}\\
=&\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\times 3\times C(n,i) \times 3^{n^2-in}\times \sum_{j=1}^n C(n,j) \times 1^{n-j}\times(-3^{i-n})^{j}\\
=&\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\times 3\times C(n,i) \times 3^{n^2-in}\times (1-3^{i-n})^{j}\\
\end{aligned}\]
合理吗？
不合理，上面的式子是错的！因为二项式定理是从零开始的，所以最终的答案应该为：
\[2\times \sum_{i=1}^n(-1)^{i-1}\times C(n,i)\times 3^{n^2-in+i}-\sum_{i=1}^n (-1)^{i}\times 3\times C(n,i) \times 3^{n^2-in}\times ((1-3^{i-n})^{j}-1)
\]
写这么详细是因为我这个cb在推式子的时候把二项式定理搞反了，调了很久。
代码
戳我
//12252024832524
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1000005;
const int MOD = 998244353;
const int inv3 = 332748118;
LL n,ans;
LL Read()
{
LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
int qpow(int x,LL y){int ret = 1;while(y){if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % MOD;x = 1ll * x * x % MOD;y >>= 1;}return ret;}
int fac[MAXN],ifac[MAXN];
void init(int x)
{
fac[0] = ifac[0] = 1;
for(int i = 1;i <= x;++ i) fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % MOD;
ifac[x] = qpow(fac[x],MOD-2);
for(int i = x-1;i >= 1;-- i) ifac[i] = ifac[i+1] * (i+1ll) % MOD;
}
LL C(int x,int y)
{
if(x < y || y < 0) return 0;
return 1ll * fac[x] * ifac[y] % MOD * ifac[x-y] % MOD;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
n = Read();
init(n);
for(int i = 1;i <= n;++ i) ans = (ans + ((i & 1) ? 1 : -1) * C(n,i) * qpow(3,(n-i)*n+i)) % MOD;
ans = ans * 2ll % MOD;
for(int i = 1;i <= n;++ i)
ans = (ans - ((i & 1) ? -1 : 1) * 3 * C(n,i) * qpow(3,(n-i)*n) % MOD * (qpow(1-qpow(inv3,n-i),n)-1)) % MOD;
Put((ans+MOD)%MOD);
return 0;
}
