线性代数入门
想写什么写什么，学了什么写什么，可能对其他人毫无价值。
因此我将这篇文章定义为线性代数入门中的入门。
零、引
什么是线性代数？
不知道。
感性理解就是：二喜哥的回答(安利)。
理性理解就是：百度百科。
百度百科老谜语人了。
一、矩阵
当我最开始学矩阵的时候，就只记住了乘法可以用来矩阵加速，并且规则是左行右列，也算是个小口诀吧。
现在我知道了，矩阵可以用来表示向量！
比如一个 \(n\times m\) 的矩阵可以用来表示 \(n\) 维的行向量或是 \(m\) 维的列向量。
特殊的， \(n=m\) 的矩阵叫做方阵。
而这些向量可以看作高维空间的基底。
二、矩阵的初等变换
1.交换行(列)
交换两个向量。
2.将某行(列)扩大 \(k\) 倍
相当于向量扩倍，显然方向不会改变，所以可以认为是线性变换。
3.将某行(列)的 \(k\) 倍加到另一行(列)
显然，该是基底的还是基底。
三、行列式 det
只有方阵才存在行列式，方阵 \(A\) 的行列式用 \(det(A)\) 或者 \(|A|\) 表示。
1.线性相关与无关
有混子就是线性相关，表示某些向量可以填上一些系数来表示其它向量，而被表示的向量其实就是混子。
没有混子就是线性无关，在这个大家庭中，人人都有自己的作用。
比如 \(\vec a=(1,0),\vec b=(2,0)\)，那么 \(\vec a\) 和 \(\vec b\) 就是线性相关的，而 \(\vec a=(1,0),\vec b=(0,1)\) 就是线性无关的。
2.行列式表示什么
上文提到，向量可以看作是基底，而行列式有很多作用，比如它如果是零，那么表示基底当中有混子！
可以用二维中三点共线，三维中四点共面来帮助理解。本来我可以表示更高维度的东西，但是我们当中有混子，所以只能降维度。而求行列式的过程和高斯消元前半部分不谋而合，行列式为 \(0\) 即出现了自由变元，也可以解释降维。
3.逆矩阵
如果行列式为 \(0\)，表示降维了，你无法得到它的逆矩阵，也就是说降维后你无法还原出它原来的样子。
否则你可以求出它的逆矩阵。
满足这样一个关系：
\(\left[\begin{matrix} 原 矩 阵 \end{matrix} \right] \times \left[\begin{matrix} 逆 矩 阵 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 单 位 矩 阵 \end{matrix} \right]\)
4.行列式的变与不变
对一个矩阵转置，行列式不变。
初等变换 \(1\) 使行列式变号。
初等变换 \(2\) 使行列式扩大 \(k\) 倍。
初等变换 \(3\) 不会改变行列式。
5.行列式计算
(1).高斯消元
消成上三角然后将主对角线乘起来即可。
尽管它跟高斯消元没有半毛钱关系，但是它们却是同一个实现方法，所以还是把这个方法叫做高斯消元。
(2).矩阵乘法
①简单情况
对于 \(A,B\) 两个方阵，有：
\(|AB|=|A|\times |B|.\)
当然它们得是同阶的。
②复杂情况
建议先把下面的 四、秩 rank 看了。
即 \(A,B\) 为矩阵，其中 \(A\) 为 \(s\times n\) 的矩阵，\(B\) 为 \(n \times s\) 的矩阵。\((s<n)\)
索引：\(s>n\) 的情况在下文的 四、秩 3.不等式们 中有提到。
介绍一个新工具：\(\tt Binet-Cauchy\) 定理。
简单来讲，就是讲 \(A,B\) 的 \(s\times s\) 的子矩阵依次全部搞出来，然后对应两两相乘后求行列式，再把所有的都加起来就得到了 \(|AB|\)。
两两相乘求行列式可以用简单情况的方法做。
四、秩 rank
1.什么是秩？
我们可以理解为一个矩阵中向量最高可以表示的维度。
因此行向量的秩称为行秩，列向量的秩称为列秩，两者一定相等，称为该矩阵的秩。
比如一个 \(3\times 3\) 的矩阵，这三个向量如果可以组成三维空间，那么秩为 \(3\)。
如果落在一个平面内，那么秩为 \(2\)。
更混的，如果它们全部在一条直线上，秩为 \(1\)。
2.满秩
如果这个矩阵当中没有混子，也就是没有降维，则称这种情况为满秩。
即矩阵 \(A\) 满秩的充要条件为 \(|A| \not= 0\)。
3.不等式们
(1).
由上面的定义，我们可以轻松得到这样一个不等式：
对于一个 \(n\times m\) 的矩阵 \(A\)，\(\operatorname{rank}(A)\le \min\{n,m\}.\)
(2).
\(\operatorname{rank}(AB)\le \min\{\operatorname{rank}(A),\operatorname{rank}(B)\}.\)
证明(不是很严谨)：
令 \(C=AB\)，将 \(A\) 看做多个向量，\(B\) 看做常数，于是乎 \(C\) 可以由 \(A\) 线性表达得到，所以 \(\operatorname{rank}(C)\le \operatorname{rank}(A)\)；
\(C^T=(AB)^T=B^TA^T\)，而转置后秩不变，所以 \(\operatorname{rank}(C)=\operatorname{rank}(C^T)\le \operatorname{rank}(B^T)=\operatorname{rank}(B).\)
好像也不是那么不严谨。
因此我们可以证明这样一个小结论：
若有一个 \(s\times n\) 的矩阵 \(A\) 和 \(n\times s\) 的矩阵 \(B(s>n)\)，那么 \(|AB|=0\)，即不满秩。
五、维数 dim
与秩进行区分，秩是向量可以表示的最高维度，或者说是其生成的空间的维度。
维数是基底中向量的个数。
两者无本质联系。
update 2022.1.26 脑子抽了看不懂基底，这里写一下：
这里我们举例子说明，比如 \(\vec a=(1,0,0),\vec b=(0,1,0),\vec c=(0,0,1)\) 三个向量就是三维空间中最简单的基底，然后我们可以用形如 \(x\vec a+y\vec b+z\vec c\) 的式子来表示三维空间的任何一个向量，不难发现，基底是线性无关的，线性无关的向量就可以作基底。
如果 \(\vec a=(1,0,0),\vec b=(2,0,0),\vec c=(0,0,1)\)，\(\vec a\) 和 \(\vec b\) 线性相关，那么他们虽然还是在三维空间，但是显然他们只能表示一个三维空间中的二维平面，也就是说三维空间坍缩成了二维平面，我们把他们放到一个方阵中，那么这个方阵的秩就是2。
六、核 ker、象集 Im
核其实是一个集合，可以这样表示：\(\ker(A)=\{\beta|A\beta=0\}\)，其中 \(A\) 是一个方阵，\(\beta\) 是列向量。
借助维数，我们可以定义 \(\dim\ker\) 为 \(\ker\) 中最大线性无关向量个数，对于一个 \(n\times n\) 的方阵，有如下式子成立：
\(\dim\ker(A)=n-\operatorname{rank}(A)\)
象集自然也是一个集合，对于 \(\vec v\in \Bbb R^n\)，那么 \(\operatorname{Im}(A)=\{\vec w|\vec w=A\vec v\}.\)
至于方阵 \(A\) 的象集是不是用 \(\operatorname{Im}(A)\) 来表示，尚且不清楚，咕咕咕~
