[CF1478C] Nezzar and Symmetric Array
前言
我可以说这道题是这场 Div2 最难的题吗？就这道题挂过，还挂了 \(3\) 次！
有趣的做题时间（单位：分钟）：
\(A:3; B:10; C:86; D:11; E:22;\)
F 没时间做了，痛失AK。1700 的难度你是在逗我？
题目
题目大意： 洛谷。
注意 \(a_i\) 两两不同。
讲解
首先有一些很显然的结论： 每种数字出现次数一定是偶数次，并且一定是偶数，互为相反数的两个数 \(d_i\) 一定相等。
这些结论随便玩一玩就可以想到。
为了方便讲解，我们令 \(-a_n<...<-a_2<-a_1<0<a_1<a_2<...<a_n\)。
然后我们开始对题意进行转换：将 \(a_i\) 放在数轴上，那么 \(|a_i-a_j|\) 即为两点之间的距离，\(d_i\) 即为 \(i\) 与其它所有点的距离和。
显然，越中间的 \(a_i\) 对应的 \(d_i\) 越小，为方便处理，我们可以对 \(d_i\) 进行排序，然后砍掉相同的一半。
我们直接试图将 \(a_i\) 构造出来，最好下手的是 \(a_n\)。
因为有 \(-a_i\) 的存在，我们在数轴上无论怎么移动 \(a_i\)，对 \(d_n\) 都是没有影响的！
所以此时 \(a_n=\frac{d_n}{2\times n}\)，当然，如果不整除就无解。
那么 \(a_{n-1}\) 怎么处理呢？\(a_n\) 会对 \(a_{n-1}\) 产生影响的啊！
考虑 \(a_n\) 对 \(d_{n-1}\) 的影响是什么：\(-a_n\) 与 \(a_n\) 将 \(a_{n-1}\) 夹在中间，所以 \(d_{n-1}\) 只需要减去 \(2\times a_n\) 就可以按上述方法接着做了。
需要满足的条件是 \(a_i>0,i\in[1,n]\) 与 \(a_i<a_{i+1},i\in[1,n-1]\)。当然，上面那个 \(2\times n|d_n\) 也需要满足。
代码
//12252024832524
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 200005;
LL n;
LL d[MAXN],a[MAXN];
LL Read()
{
LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
for(int T = Read(); T ;-- T)
{
n = Read();
for(int i = 1;i <= 2*n;++ i) d[i] = Read();
sort(d+1,d+2*n+1);
bool f = 1;
for(int i = 1;i <= 2*n && f;i += 2)
if(d[i] != d[i+1] || (d[i] & 1)) f = 0;
for(int i = 2;i <= 2*n;i += 2) d[i/2] = d[i];
LL jian = 0;
a[n+1] = 0;
for(int i = n;i >= 1 && f;-- i)
{
d[i] -= jian;
if(d[i] <= 0 || d[i] % (2*n)) {f = 0;break;}
a[i] = d[i] / (2*n);
if(a[i] == a[i+1]) {f = 0;break;}//pay attention to “distinct”!
jian += 2*a[i];
n--;
}
if(!f) {printf("NO\n");continue;}
printf("YES\n");
}
return 0;
}
