小朋友和二叉树
前言
一场考试六道题，就写了这一个，还好过了。
随便口胡一下就好了。
题目
讲解
一眼过去是个生成函数题，但是板子打了很久。
生成函数 \(F(n)\) 为权值为 \(n\) 时的方案数，\(G(n)\) 表示权值 \(n\) 是否存在，也就是说是个01串。
有关系式 \(F=F^2*G+1\)，然后我们直接用求根公式，之后再选一个可以求出来的根即可。 \(\frac{1-\sqrt{1-4G}}{2G}\)，用平方差公式变换一下保证求逆的多项式的零次项不为0。变换后答案为：
\(\frac{2}{1+\sqrt{1-4G}}\)
代码
考场代码，去注释版本。
//12252024832524
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MAXN = 1 << 19 | 5;
const int MOD = 998244353;
const int PHI = 998244352;
const int G = 3;
const int GINV = 332748118;
int n,m;
LL Read()
{
LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
while(c > '9' || c < '0') {if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
while(c >= '0' && c <= '9') {x = (x * 10) + (c ^ 48);c = getchar();}
return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
if(x > 9) Put1(x/10);
putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
if(x < 0) x = -x,putchar('-');
Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x,T y){return x < 0 ? -x : x;}
int qpow(int x,int y)
{
int ret = 1;
while(y){if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % MOD;x = 1ll * x * x % MOD;y >>= 1;}
return ret;
}
int N,rev[MAXN];
void pre(int x)
{
N = 1;int l = -1;
while(N <= x) N <<= 1,l++;
for(int i = 1;i < N;++ i) rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << l);
}
int Add(int x){if(x >= MOD) x -= MOD;return x;}
int Del(int x){if(x < 0) x += MOD;return x;}
void NTT(int *a,int opt)
{
for(int i = 0;i < N;++ i) if(i < rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int i = 1;i < N;i <<= 1)
{
int w = qpow(opt == 1 ? G : GINV,PHI / (i << 1));
for(int j = 0,p = i << 1;j < N;j += p)
{
int mi = 1;
for(int k = 0;k < i;++ k,mi = 1ll * mi * w % MOD)
{
int X = a[j+k],Y = 1ll * mi * a[i+j+k] % MOD;
a[j+k] = Add(X+Y);
a[i+j+k] = Del(X-Y);
}
}
}
if(opt == -1)
{
int inv = qpow(N,MOD-2);
for(int i = 0;i < N;++ i) a[i] = 1ll * a[i] * inv % MOD;
}
}
int h[MAXN];
void polyinv(int *f,int *g,int len)//对f求逆，逆为g
{
if(len == 1)
{
g[0] = qpow(f[0],MOD-2);
return;
}
polyinv(f,g,(len+1)>>1);
pre(len<<1);
for(int i = 0;i < len;++ i) h[i] = f[i];
for(int i = len;i < N;++ i) h[i] = 0;
NTT(h,1);
NTT(g,1);
for(int i = 0;i < N;++ i) g[i] = ((2ll * g[i] - 1ll * h[i] * g[i] % MOD * g[i]) % MOD + MOD) % MOD;
NTT(g,-1);
for(int i = len;i < N;++ i) g[i] = 0;
}
int a[MAXN],b[MAXN];
void polysqrt(int *f,int *g,int len)
{
if(len == 1)
{
g[0] = 1;
return;
}
polysqrt(f,g,(len+1)>>1);
//求2g'的逆
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i = 0;i < len;++ i) a[i] = Add(g[i]*2);
polyinv(a,b,len);
pre(len<<1);
//求f+g'^2
for(int i = 0;i < len;++ i) a[i] = g[i];
for(int i = len;i < N;++ i) a[i] = 0;
NTT(a,1);
for(int i = 0;i < N;++ i) a[i] = 1ll * a[i] * a[i] % MOD;
NTT(a,-1);
for(int i = 0;i < len;++ i) a[i] = Add(a[i] + f[i]);
for(int i = len;i < N;++ i) a[i] = 0;
//the last step
NTT(a,1);
NTT(b,1);
for(int i = 0;i < N;++ i) g[i] = 1ll * a[i] * b[i] % MOD;
NTT(g,-1);
for(int i = len;i < N;++ i) g[i] = 0;
}
int ff[MAXN],gg[MAXN],ans[MAXN];
int main()
{
// freopen("data.in","r",stdin);
// freopen("mine2.out","w",stdout);
n = Read(); m = Read();
for(int i = 0;i < n;++ i)
{
int val = Read();
if(val <= m) ans[val] = MOD-4;
}
ans[0] = 1;
polysqrt(ans,ff,m+1);
ff[0]++;
polyinv(ff,gg,m+1);
pre(m<<1);
for(int i = 0;i < N;++ i) ans[i] = 0;
ans[0] = 2;
NTT(ans,1);
NTT(gg,1);
for(int i = 0;i < N;++ i) ans[i] = 1ll * ans[i] * gg[i] % MOD;
NTT(ans,-1);
for(int i = 1;i <= m;++ i) Put(ans[i],'\n');
return 0;
}
