莫比乌斯反演

目录

• 一、前言
• 二、讲解
  • 1.莫比乌斯函数
    • (1).定义
    • (2).性质
      • ①
      • ② 一个关系式
      • ③ 积性函数
    • (3).线性筛代码
  • 2.莫比乌斯反演
• 三、练习

一、前言

这是第三遍讲？明明是第一遍学！

为了不让博客过于冗长，部分证明已被省略，详见 \(\texttt{PPT}\)

二、讲解

保留节目——自学

1.莫比乌斯函数

(1).定义

我们莫比乌斯函数为 \(\mu(n)(n\in N^*)\) ，定义如下：

① \(\mu(1)=1\)

② 如果\(n=\prod_{i=1}^kp_i\) 且\(p_i\)互不相同，则 \(\mu(n)=(-1)^k\)

③ 其他情况下 \(\mu(n)=0\)

(2).性质

①

对于任意正整数 \(n\) 有：

\[\sum_{d|n}\mu(d)=\begin{cases} 1 (n=1)\\ 0 (n>1) \end{cases}\]

② 一个关系式

\[\sum_{d|n}\dfrac{\mu(d)}{d}=\dfrac{\phi(n)}{n} \]

\(\texttt{Hint}\) : 考虑移项 \(n\) 证明

③ 积性函数

(3).线性筛代码

int mu[MAXN],prime[MAXN],pn;
bool vis[MAXN];
void sieve(int x)
{
	smu[1] = mu[1] = 1;
	for(int i = 2;i <= x;++ i)
	{
		if(!vis[i]) prime[++pn] = i,mu[i] = -1;
		for(int j = 1;j <= pn && i * prime[j] <= x;++ j)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0) break;
			mu[i * prime[j]] = -mu[i];
		}
	}
}

2.莫比乌斯反演

其实就是一个公式的变形：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

\[\Rightarrow f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\dfrac{n}{d}) \]

三、练习

1.[HAOI2011]Problem b(洛谷) 题解

2.YY的GCD(洛谷) 题解

3.Crash的数字表格(洛谷) 题解