素数

前言

自闭，数学差果然是这样的

题目

【问题描述】

我们定义\(v(i)\)表示小于等于\(i\)的最大素数，\(u(i)\)表示大于\(i\)的最小素数，求\(\sum_{i=2}^n\frac{1}{v(i)u(i)}\)的值，以最简分数的形式输出。

【输入描述】

第一行一个正整数\(t\)，表示测试数据数量
每组测试数据一行一个正整数\(n\)

【输出描述】

对于每组测试数据输出一个答案。

【样例】

Sample Input

2
2 3

Sample Output

1/6
7/30

【数据范围】

对于\(30\%\)的数据，\(t <= 10,n <= 10^4\)
对于\(100\%\)的数据，\(t <= 500,n <= 10^9\)

讲解

我们将\(v(i),u(i)\)相同的一些数提出来康康

\[\sum_{i=1}^{u(i)-v(i)}\frac{1}{v(i)u(i)}=\frac{1}{v(i)}-\frac{1}{u(i)} \]

裂项！

于是对于\(n\)，我们找出\(v(n),u(n)\)

\[\begin{aligned} \sum_{i=2}^{n}&=\sum_{i=2}^{v(n)-1}+\sum_{v(n)}^{n}\\ &=\frac{1}{2}-\frac{1}{v(n)}+\frac{n-v(n)+1}{u(n)v(n)}\\ &=\frac{v(n)u(n)-2u(n)+2(n-v(n)+1)}{2v(n)u(n)} \end{aligned}\]

然后化简即可

什么？你问我怎么找\(v(n),u(n)\)？

难道没人告诉过你质数在\(n\)以内的分布大概有\(\frac{n}{\ln n}\)个？

所以平摊下来我们暴力找只需要\(\ln n\)的时间就可以找到了

甚至还可以用\(O(\sqrt n)\)的时间判断质数，这并不会TLE

记得开\(\texttt{long long}\)

代码

bool prime(int x)
{
	for(int i = 2;i*i <= x;++ i)
		if(x % i == 0)
			return 0;
	return 1;
}
LL gcd(LL x,LL y)
{
	if(!y) return x;
	return gcd(y,x%y);
}

int main()
{
//	freopen("prime_0.in","r",stdin);
//	freopen("mine.out","w",stdout);
	for(int T = Read(); T ;-- T)
	{
		n = Read();
		if(n == 2) {printf("1/6\n");continue;}
		LL v = n,u = n+1;
		while(!prime(v)) v--;
		while(!prime(u)) u++;
		LL fz = v*u - 2*u + 2*(n-v+1),fm = 2*v*u;
		LL d = gcd(fz,fm);
		fz /= d; fm /= d;
		Put(fz,'/'),Put(fm,'\n');
	}
	return 0;
}