[TJOI2018] 教科书般的亵渎
前言
亵渎不是都退了好久了吗，哦，是2018年的题啊，那没事了
没DK我玩什么ss
题目
讲解
其实这道题就是让你求\(\sum_{i=1}^n i^k\)
我们令\(S(n,k)=\sum_{i=1}^n i^k\)
我们来康康这个式子：
\[(n+1)^k-n^k=\sum_{i=1}^k C_k^i*n^{k-i}
\]
然后我们可以列出共\(n\)个这样类似的式子：
\[n^k-(n-1)^k=\sum_{i=1}^k C_k^i*(n-1)^{k-i}
\]
\[(n-1)^k-(n-2)^k=\sum_{i=1}^k C_k^i*(n-2)^{k-i}
\]
...
\[2^k-1^k=\sum_{i=1}^k C_k^i*1^{k-i}
\]
我们将这\(n\)个式子加起来康康会发生什么：
\[(n+1)^k-1=\sum_{i=1}^{k}C_k^i*S(n,k-i)
\]
我们试图通过对式子变形来使得它出现\(S(n,k)\)一项
\[(n+1)^{k+1}-1=\sum_{i=1}^{k+1}C_{k+1}^{i}*S(n,k-i+1)
\]
\[(n+1)^{k+1}-1=\sum_{i=2}^{k+1}C_{k+1}^{i}*S(n,k-i+1)+C_{k+1}^1*S(n,k)
\]
\[(n+1)^{k+1}-1=\sum_{i=2}^{k+1}C_{k+1}^{i}*S(n,k-i+1)+(k+1)*S(n,k)
\]
出现目标！移项！
\[S(n,k)=\frac{(n+1)^{k+1}-1-\sum_{i=2}^{k+1}C_{k+1}^{i}*S(n,k-i+1)}{k+1}
\]
根据\(C_n^m=C_n^{n-m}\)可推出：
\[S(n,k)=\frac{(n+1)^{k+1}-1-\sum_{i=0}^{k-1}C_{k+1}^{i}*S(n,i)}{k+1}
\]
\(O(k^2)\)递推即可，其中边界为\(S(n,0)=n\)
然而我们发现求\(\sum_{i=1}^n i^k\)的时候中间可能有断掉的几个数
但明显不会太多，暴力减掉即可
代码
void pre()
{
C[0][0] = 1;
for(int i = 1;i < MAXM;++ i)
{
C[i][0] = 1;
for(int j = 1;j <= i;++ j) C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1]) % MOD;
}
}
int qpow(LL x,int y)
{
x %= MOD;
int ret = 1;
while(y){if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % MOD;x = 1ll * x * x % MOD;y >>= 1;}
return ret;
}
int S(int x)
{
if(!x) return now;
if(mem[x]) return mem[x];
int ret = qpow(now+1,x+1) - 1;
for(int i = 0;i < x;++ i) ret = (ret - 1ll * C[x+1][i] * S(i)) % MOD;
ret = (ret + MOD) % MOD;
ret = 1ll * ret * qpow(x+1,MOD-2) % MOD;
return mem[x] = ret;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
pre();
for(int T = Read(); T ;-- T)
{
n = Read(); m = Read();
for(int i = 1;i <= m;++ i) a[i] = Read();
sort(a+1,a+m+1);
k = m+1; now = n;
int ans = 0;
for(int i = 1;i <= k;++ i)
{
for(int j = 0;j <= k;++ j) mem[j] = 0;
ans = (ans + S(k)) % MOD;
for(int j = i;j <= m;++ j) ans = (ans - qpow(a[j] - n + now,k) + MOD) % MOD;
now -= a[i] - a[i-1];
}
Put(ans,'\n');
}
return 0;
}
