[HDU6467] 简单数学题
前言
多写写数学题的题解，说不定就会了呢qwq
题目
讲解
就单纯推式子
首先我们要先证明一个性质：
\[\sum_{i=0}^n i*C_n^i=n*2^{n-1}
\]
令
\[S=\sum_{i=0}^n i*C_n^i
\]
则
\[\begin{aligned}
2S&=\sum_{i=0}^n i*C_n^i+\sum_{i=0}^n (n-i)*C_n^{n-i}\\
&=\sum_{i=0}^n i*C_n^i+\sum_{i=0}^n (n-i)*C_n^i\\
&=\sum_{i=0}^n n*C_n^i\\
&=n*\sum_{i=0}^n C_n^i\\
&=n*2^n
\end{aligned}\]
所以
\[S=n*2^{n-1}
\]
然后我们就可以愉快地推式子啦
\[\begin{aligned}
F(n)&=\sum_{i=1}^n i*\sum_{j=i}^n C_{j}^{i}\\
&=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i j*C_i^j\\
&=\sum_{i=1}^n i*2^{i-1}\\
&=\sum_{i=0}^{n-1} (i+1)*2^{i}
\end{aligned}\]
类似的，我们求出\(2F(n)\)
\[2F(n)=\sum_{i=1}^n i*2^i
\]
作差即可得到：
\[\begin{aligned}
F(n)&=n*2^n-\sum_{i=0}^{n-1}2^i\\
&=n*2^n-(2^n-1)\\
&=(n-1)*2^n+1
\end{aligned}\]
快速幂实现即可
代码
int qpow(LL x,LL y,int MOD)
{
LL ret = 1;y %= (MOD-1);
while(y){if(y & 1) ret = ret * x % MOD;x = x * x % MOD;y >>= 1;}
return ret;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
while(~scanf("%lld",&n)) Put(((n-1) % MOD * qpow(2,n,MOD) + 1) % MOD,'\n');
return 0;
}
