[HDU2462] The Luckiest number
前言
update 2021.7.23 加上了句号,但是丑陋的 \(\LaTeX\) 使用没有改。
差一点就推出来了qaq。
题目
题目大意:
多组询问,0结束,问\(x=88...888\)(len个\(8\)),且\(L|x\)的最小\(len\),如果无解输出\(0\)。
输出格式见样例。
讲解
首先我们可以将\(x\)表示为\((10^{len}-1)/9*8\)。
那么\(L|(10^{len}-1)/9*8\),\(L*9|(10^{len}-1)*8\)。
令\(d=gcd(L*9,8)\),所以\(L*9/d|(10^{len}-1)*8/d\)。
令\(L'=L*9/d\),因为\(L*9/d\)与\(8/d\)互质,所以\(L'|(10^{len}-1)\)。
那么一定可以写成这种形式:\(10^{len}\% L'=1\)。
此时如果\(10\)与\(L'\)不互质,一定无解。
否则\(10^{\phi(L')}\% L'=1\),\(\phi(L')\)即为答案。
吗?
我们要求最小的答案,所以我们需要枚举\(\phi(L')\)的因数,再用快速幂判断即可。
值得注意的是在快速幂期间,中间变量可能会爆\(long\ long\),所以要使用防爆乘法。
代码
LL gcd(LL x,LL y)
{
if(!y) return x;
return gcd(y,x%y);
}
LL getphi(LL x)
{
LL ret = x;
for(int i = 2;1ll * i * i <= x;++ i)
{
if(x % i == 0)
{
ret = ret / i * (i-1);
while(x % i == 0) x /= i;
}
}
if(x > 1) ret = ret / x * (x-1);
return ret;
}
LL gsc(LL x,LL y,LL MOD)
{
LL ret = 0;
while(y){if(y & 1) ret = (ret + x) % MOD;x = (x << 1) % MOD;y >>= 1;}
return ret;
}
LL qpow(LL x,LL y,LL MOD)
{
LL ret = 1;
while(y){if(y & 1) ret = gsc(ret,x,MOD);x = gsc(x,x,MOD);y >>= 1;}
return ret;
}
int main()
{
// freopen(".in","r",stdin);
// freopen(".out","w",stdout);
while(1)
{
n = Read();
if(!n) return 0;
n *= 9;
LL d = gcd(n,8),ans,phi;
n /= d;
if(gcd(n,10) > 1) {printf("Case %d: 0\n",++tot);continue;}
ans = phi = getphi(n);
for(int i = 1;1ll*i*i <= phi;++ i)
if(phi % i == 0)
{
if(qpow(10,i,n) == 1) {ans = i;break;}
if(qpow(10,phi/i,n) == 1) ans = phi/i;
}
printf("Case %d: %lld\n",++tot,ans);
}
return 0;
}