[HDU2462] The Luckiest number

前言

update 2021.7.23 加上了句号，但是丑陋的 $\LaTeX$ 使用没有改。

差一点就推出来了qaq。

题目

HDU

题目大意：

多组询问，0结束，问$x=88...888$(len个$8$)，且$L|x$的最小$len$，如果无解输出$0$。

输出格式见样例。

讲解

首先我们可以将$x$表示为$(10^{len}-1)/9*8$。

那么$L|(10^{len}-1)/9*8$，$L*9|(10^{len}-1)*8$。

令$d=gcd(L*9,8)$，所以$L*9/d|(10^{len}-1)*8/d$。

令$L'=L*9/d$，因为$L*9/d$与$8/d$互质，所以$L'|(10^{len}-1)$。

那么一定可以写成这种形式：$10^{len}\% L'=1$。

此时如果$10$与$L'$不互质，一定无解。

否则$10^{\phi(L')}\% L'=1$，$\phi(L')$即为答案。

吗？

我们要求最小的答案，所以我们需要枚举$\phi(L')$的因数，再用快速幂判断即可。

值得注意的是在快速幂期间，中间变量可能会爆$long\ long$，所以要使用防爆乘法。

代码

LL gcd(LL x,LL y)
{
	if(!y) return x;
	return gcd(y,x%y);
}
LL getphi(LL x)
{
	LL ret = x;
	for(int i = 2;1ll * i * i <= x;++ i)
	{
		if(x % i == 0)
		{
			ret = ret / i * (i-1);
			while(x % i == 0) x /= i;
		}
	}
	if(x > 1) ret = ret / x * (x-1);
	return ret;
}
LL gsc(LL x,LL y,LL MOD)
{
	LL ret = 0;
	while(y){if(y & 1) ret = (ret + x) % MOD;x = (x << 1) % MOD;y >>= 1;}
	return ret;
}
LL qpow(LL x,LL y,LL MOD)
{
	LL ret = 1;
	while(y){if(y & 1) ret = gsc(ret,x,MOD);x = gsc(x,x,MOD);y >>= 1;}
	return ret;
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	while(1)
	{
		n = Read();
		if(!n) return 0;
		n *= 9;
		LL d = gcd(n,8),ans,phi;
		n /= d;
		if(gcd(n,10) > 1) {printf("Case %d: 0\n",++tot);continue;}
		ans = phi = getphi(n);
		for(int i = 1;1ll*i*i <= phi;++ i)
			if(phi % i == 0)
			{
				if(qpow(10,i,n) == 1) {ans = i;break;}
				if(qpow(10,phi/i,n) == 1) ans = phi/i;
			}
		printf("Case %d: %lld\n",++tot,ans);
	}
	return 0;
}