(扩展)中国剩余定理

中国剩余定理

讲解

对于这种类型的方程组，求一个合法的\(x\)

\[\begin{cases} x≡a_1 \pmod {r_1}\\ x≡a_2 \pmod {r_2}\\ x≡a_3 \pmod {r_3}\\ ...\\ x≡a_n \pmod {r_n} \end{cases}\]

其中\(r_1,r_2,r_3,...,r_n\)互质，这就是中国剩余定理解决的问题

其实我们可以直接构造出一个特殊解

令\(A_i=\prod_{j\ne i}r_j\)，因为各个\(r_i\)互质，所以\(A_i\)与\(r_i\)也是互质的，所以一定存在一个\(c_i\)，使得\(c_i*A_i\% r_i=1\)

令\(x_i=c_i*A_i*a_i\)，则\(x_i\% r_i=a_i,x_i\% r_j=0|j\ne i\)

这意味着什么？把所有的\(x_i\)加起来就是我们要求的解\(x\)了！

令\(R=\prod_{i=1}^{n}r_i\)，对于任意一个解\(x\)，我们将其加上\(R\)的任意倍数也同样成立

通解为：

\(x=\sum_{i=1}^{n}c_i*A_i*a_i+p*R\)

其中\(p\)为任意整数

代码

求\(c_i\)相当于求\(A_i\)的逆元，但是由于\(r_i\)不一定是质数，只是和\(A_i\)互质而已，所以不能用快速幂求，要用扩欧

void exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(!b) x = 1,y = 0;
	else
	{
		exgcd(b,a%b,y,x);
		y -= a/b*x;
	}
}
LL CRT()
{
	LL s = 1,ret = 0;
	for(int i = 1;i <= n;++ i) s *= r[i];
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
	{
		LL x,y;
		exgcd(s/r[i],r[i],x,y);
		x = (x + r[i]) % r[i];
		ret = (ret + a[i] * (s / r[i]) % s * x % s) % s;
	}
	return ret;
}

扩展中国剩余定理

讲解

扩展中国剩余定理是用来解决\(r_i\)各自不互质的情况的问题

对于扩展中国剩余定理，它所做的事情其实是将两个方程不断合并，最后剩下一个方程即可得出最终解

假设我们要合并的两个方程为：

\[\begin{cases} x≡a_1 \pmod {r_1}\\ x≡a_2 \pmod {r_2} \end{cases}\]

我们的目标是将其合并成\(x≡? \pmod {lcm(r_1,r_2)}\)的形式

我们可将两个方程化为：\(x=a_1+s_1*r_1=a_2+s_2*r_2\)，其中\(s_1,s_2\)为整数

将其移项可得\(s_1*r_1-s_2*r_2=a_2-a_1\)

我们可以通过扩欧求得一组特解\((s_1',s_2')\)，当然如果无解就可以直接在这里判断了

然后我们就可以得到\(s_1\)的通解\(s_1=s_1'+k*(r_2/gcd(r_1,r_2))\)，所以为了防爆，我们在求出\(s_1'\)之后也可以对其取模\(r_2/gcd(r_1,r_2)\)

然后我们将\(s_1\)代回原方程，可得\(x=a_1+(s_1'+k*(r_2/gcd(r_1,r_2)))*r_1=a_1+s_1'*r_1+k*lcm(r_1,r_2)\)

我们即可得到方程\(x≡a_1+s_1'*r_1 \pmod{lcm(r_1,r_2)}\)

代码

update 2022.1.27 更新了一波代码

LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(!b) {x = 1,y = 0;return a;}
	LL ret = exgcd(b,a%b,d,y,x);
	y -= a/b*x; return ret;
}
LL exCRT()
{
	for(int i = 1;i < n;++ i)
	{
		LL x,y,d; d = exgcd(r[i],r[i+1],x,y);
		if(a[i] > a[i+1]) swap(a[i],a[i+1]),swap(r[i],r[i+1]);
		if((a[i+1] - a[i]) % d) return -1;
		r[i+1] = r[i] / d * r[i+1];
		a[i+1] = (x * r[i] % r[i+1] + a[i]) % r[i+1];
	}
	return a[n];
}