线性筛质数

暴力

讲解

对于每个数，我们用\(O(\sqrt n)\)的时间判断是否是质数

所以时间复杂度是\(O(n\sqrt n)\)

代码就不给出了

埃式筛法

讲解

一个很简单的筛法

对于每个质数，将它所有的倍数打上标记，表示不是质数

然后就可以做到\(O(n\log\logn)\)筛质数了

代码

bool vis[MAXN];
int prime[MAXN],pn;
void sieve(int x)
{
	for(int i = 2;i <= x;++ i)
	{
		if(!vis[i]) 
		{
			prime[++pn] = i;
			for(int j = i*2;j <= x;j += i)
				vis[j] = 1;
		}
	}
}

欧式筛法

讲解

由于埃式筛法每个合数会被所有的质因数筛一遍，所以时间复杂度是\(O(nlogn)\)的

但是欧式筛法保证每个合数只会被最小的质因数筛一遍，从而保证了\(O(n)\)的时间复杂度

它是这么实现的(配代码食用更佳)：

首先外层循环从\(2\)开始枚举倍数\(i\)，如果发现当前数字不是质数，加入质数的集合

内层循环枚举已经筛出来的质数\(p_j\)，将\(i*p_j\)打上标记，如果\(i\)是\(p_j\)的倍数，直接跳出循环

为什么可以直接跳出循环呢？

令\(j'>j\)，所以\(p_{j'}>p_j\),因为\(i\)是\(p_j\)的倍数，所以\(i*p_{j'}\)也是\(p_j\)的倍数，它一定会被\(p_j\)筛掉

我们希望每个合数被最小的质因数筛掉，而\(p_j<p_{j'}\)，所以可以直接跳出循环

代码

bool vis[MAXN];
int prime[MAXN],pn;
void sieve(int x)
{
	for(int i = 2;i <= x;++ i)
	{
		if(!vis[i]) prime[++pn] = i;
		for(int j = 1;j <= pn && i * prime[j] <= x;++ j)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(i % prime[j] == 0)//超强优化！
				break;
		}
	}
}