扩展欧几里得

前言

扩展欧几里得是用来求不定方程如：\(ax+by=c\)的一组特解.其中\(a,b,c\)为已知整数,\(gcd(a,b)|c\).这样，不
定方程才有解.

讲解

我们可以将问题转化为求\(ax+by=gcd(a,b)\)，最后\(x,y\)同乘\(c/gcd(a,b)\)即可得到一个解

根据辗转相除法，我们直接推一波式子

\[ax+by=gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)=bx'+(a\%b)y'=bx'+(a-a/b*b)y' \]

我们将\(a,b\)看成变量，就可以得到：

\[\begin{cases} x=y'\\ y=x'-a/b*x \end{cases}\]

于是可以递归求解

当到递归底层，即\(b=0\)时，此时的\(a\)即为最初的\(gcd(a,b)\)，所以此时\(x=1,y=0\)

当然我们在写法上可以稍微改一改，使代码更短

代码

void exgcd(int a,int b,int &d,int &x,int &y)
{
	if(!b) d = a,x = 1,y = 0;
	else
	{
		exgcd(b,a%b,d,y,x);
		y -= a/b*x;
	}
}